高中数学数列题型总结学案,讲义

1、结论：（1）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。（2） 若等差数列、的前和分别为、，且，则.【例】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）（3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最

2、大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006） 若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列。如已知且，设数列满足，且，则. （答：）；在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）。如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中

3、，真命题的序号是 （答：）一.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知求，用作差法：。如已知的前项和满足，求（答：）；数列满足，求（答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_（答：）若求用累加法：。如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求（答：）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）二.数列求和

4、的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：;.如等比数列的前项和S2，则_（答：）；计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_（答：）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。如求：（答：）（3） 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前

5、和公式的推导方法）。如求证：；已知，则_（答：）（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）。如（1）设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）；（2）设函数，数列满足：，求证：数列是等比数列；令，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：略；，当时，；当时，）（5）裂项相消法：数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.常用裂项有：；，； ；.如求和： （答：）；在数列中，且S，则n_（答：99）；（6）通项转换法：先对通项进行变形，

6、发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列14，25，36，前项和= （答：）；求和： （答：）数列综合题 S/n的结论例1已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线L2，设l与l的夹角为，“万能通项”，递推公式，特殊数列的证明方法例2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。数列的求和方法例4、设a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)求数列bn的通项公式，(2)求数列nan的前n项的和Sn。解： （II）

7、数列与集合和函数综合例5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。解：（1）（3）例6数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）.（2）故 （3）m的最大整数值是7。五、强化训练6、若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（A） A 13 B 12 C 11 D 109、已知等差数列an满足3a4=7a7,且a10,Sn

8、是an的前n项和，Sn取得最大值，则n=_9_.11、设an是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-nan2+an+1an=0,求它的通项公式是_1/n12、已知数列an满足a.1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1),则an的通项an=_a1=1;an=n2 13、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_3_，这个数列的前n项和的计算公式为_当n为偶数时，；当n为奇数时，14. 已知数列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，。(1)求a3,a5； （2）求an的通项公式解：（I）a3=3,a5=13.(II) 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，15. 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）证明