数值分析列主元高斯消去顺序高斯平方根法追赶法

1、课题名称：课题一 解线性方程组的直接方法解决的问题：给定三个不同类型的线性方程组，用适当的直接法求解。采用的数值方法：对第一个普通的线性方程组，采用了高斯顺序消去法和高斯列主元消去法。对第二个正定线性方程组，采用了平方根法。对第三个三对角线性方程组，采用了追赶法。算法程序：(1) 普通的线性方程组顺序消去法#include#includeint main(void) float A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0, 8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0, 4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1, 0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4, -4,2,6,-

2、1,6,7,-3,3,2,3, 8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5, 0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1, 16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2, 4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4, 0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1 ; float b10= 5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21; float x10= 0; float Aik,S,temp; int i,j,k; int size=10; for(k=0; ksize-1; k+) if(!Akk) return -1; for(i=k+1; isize; i

3、+) Aik=Aik/Akk; for(j=k; jsize; j+) Aij=Aij-Aik*Akj; bi=bi-Aik*bk; printf(An); for(i=0; isize; i+) for(j=0; jsize; j+) printf(%f ,Aij); printf(n); printf(bn); for(i=0; i=0; k-) S=bk; for(j=k+1; jsize; j+) S=S-Akj*xj; xk=S/Akk; printf(x=n); for(i=0; isize; i+) printf(%f ,xi); return 0;列主元消去法#include#

4、includeint main(void) float A1010= 4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0, 8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0, 4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1, 0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4, -4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3, 8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5, 0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1, 16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2, 4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4, 0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1 ; float b10= 5,12,3,2

5、,3,46,13,38,19,-21; float x10= 0; float Aik,S,temp; int i,j,k; float max; int col; int size=10; for(k=0; ksize-1; k+) max=fabs(Akk); col=k; for(i=k; isize; i+) if(maxfabs(Aik) max=fabs(Aik); col=i; for(j=k; jsize; j+) temp=Acolj; Acolj=Akj; Akj=temp; temp=bcol; bcol=bk; bk=temp; if(!Akk) return -1;

6、for(i=k+1; isize; i+) Aik=Aik/Akk; for(j=k; jsize; j+) Aij=Aij-Aik*Akj; bi=bi-Aik*bk; printf(An); for(i=0; isize; i+) for(j=0; jsize; j+) printf(%f ,Aij); printf(n); printf(bn); for(i=0; i=0; k-) S=bk; for(j=k+1; jsize; j+) S=S-Akj*xj; xk=S/Akk; printf(x=n); for(i=0; isize; i+) printf(%f ,xi); retur

7、n 0;(2) 对称正定线性方程组平方根法：#include #include #define n 8int main(void) float A88= 4,2,-4,0,2,4,0,0, 2,2,-1,-2,1,3,2,0, -4,-1,14,1,-8,-3,5,6, 0,-2,1,6,-1,-4,-3,3, 2,1,-8,-1,22,4,-10,-3, 4,3,-3,-4,4,11,1,-4, 0,2,5,-3,-10,1,14,2, 0,0,6,3,-3,-4,2,19 ; float g88= 0; float b8= 0,-6,6,23,11,-22,-15,45; float x8

8、= 0; float y8= 0; int k,m,i,sq; for(k=0; kn; k+) float p=0,q=0,s=0; for(m=0; m=k-1; m+) p=p+Akm*Akm; gkk=sqrt(Akk-p); Akk=gkk; for(i=k+1; in; i+) q=0; for(m=0; m=k-1; m+) q=q+Aim*Akm; gik=(Aik-q)/Akk; Aik=gik; s=0; for(m=0; m=0; k-) float sum=0; for(m=k+1; mn; m+) sum=sum+Amk*xm; xk=(yk-sum)/Akk; fo

9、r(sq=0; sqn; sq+) printf(%f ,xsq); return 0;(3)三对角线性方程组追赶法#include #include #define n 10int main(void) float a10=4,4,4,4,4,4,4,4,4,4; float c9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; float d9=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; float b10=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5; float x10=0; float y10=0; float arf10=0; float bt9=0;

10、arf0=a0; int i; for(i=0;in-1;i+) bti=ci/arfi; arfi+1=ai+1-di+1*bti; /printf(%f %f n,bti,arfi+1); y0=b0/arf0; /printf(%fn,y0); for(i=1;i=0;i-) xi=yi-bti*xi+1; for(i=0;in;i+) printf(%lf ,xi); return 0;数值结果：(1) 普通的线性方程组顺序消去法列主元消去法(2) 对称正定线性方程组平方根法：(3)三对角线性方程组追赶法：对实验计算结果的讨论和分析：(1) 普通的线性方程组顺序消去法x1x10的绝对误

11、差：0.，-0.,0.,0,0.,0,0.,0,0,0x1x10的相对误差：0.，0.,-1,0,0.,0,0.,0,0,0误差很小，基本可以忽略。高斯消去法由消元和回代两个过程组成。消元过程就是将原增广矩阵A,b中矩阵A的部分约化为上三角矩阵，然后就可以进行回代过程，从最后一个方程开始，依次求出xn，xn-1一直到x1.到这里，顺序高斯消去法完成。列主元消去法经过计算，列主元高斯消去法的误差也很小，它是高斯消去法的改进，因为顺序消去法的主元素如果等于0，消元过程就无法进行，如果它很小，也会导致它做除数的误差会增加，导致精度下降，因此在消元过程中选择绝对值较大的元素作为主元素是必要的。这就是列主元消去法。(2) 对称正定线性方程组平方根法：误差为0，数值非常稳定。平方根法适用于对称正定矩阵，将对称