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1、1,第四章 控制系统的稳定性分析,在经典控制理论中，对于单入单出线性定常系统，应用Routh判据等代数方法判定系统的稳定性。 频域中的Nyquist判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向。 上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础的。,2,1892年，俄国数学家Lyapunov提出将判定系统稳定性的问题归为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。 本章重点讨论李雅普诺夫第二法。其特点是不求解系统方程，而是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定

2、性分析的方法。,3,控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入输出无关。,稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。,4,4-1 动态系统的外部稳定性

3、,一、外部稳定性的定义 在任何一个有界的输入作用下，如果系统的 输出也有界，则称系统为外部稳定（BIBO稳定）。 二、“有界”的含义 (1)单输入-单输出系统，有界表示为模的有界性； (2)单输入-多输出系统，输出有界以向量的范数来表示； (3)多输入-多输出系统，以各个分量的模的有界性来表示；,5,对于线性定常系统， 具有外部稳定性的充分必要条件等价于其传递函数 的所有极点都位于s平面的左半边。,6,4-2 动态系统的内部稳定性,一、系统的平衡状态 若系统式存在状态矢量xe,对所有t, 都使,成立，则称xe为系统的平衡状态。,7,二、稳定性的几个定义 1.李雅普诺夫意义下稳定 系统 对于选定

4、的实数 ，都对应存在另一实数 ， 使当 时， 从任意初态出发是解都满足 则称平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定。,8,如图4-1 所示，若对应于每一个 ， 都存在一个 ，使当t无限增长时，从 出发是状态轨线总不离开 ， 即系统响应的幅值是有界的， 则称平衡状态 为李雅普诺夫意义下稳定。,9,2.渐进稳定 如果平衡状态 是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超出 ，而且最终收敛于 ，则称这种平衡状态 渐进稳定。,10,3.大范围渐进稳定 如果平衡状态 是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，则称这种平衡状态 大范围渐进稳定。,对于线性系统来说，如果平衡状态 是渐近稳定的，

5、则必然也是大范围渐近 稳定的。,11,4. 不稳定 如果对于某个实数 和任一实数 ， 不管d 这个实数多么小，由 内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过 ， 则称这种平衡状态 不稳定。,不稳定几何表示法：,12,外部稳定性与内部稳定性的关系：,传递函数的极点就是系统的特征值； “内部稳定” “外部稳定”； “外部稳定” “内部稳定”； 能控能观系统，内部稳定外部稳定；,13,4-3 李雅普诺夫第一法,一、线性系统的稳定判据 状态稳定性：线性定常系统 平衡状态 渐进稳定的充要条件是： 矩阵A的所有特征值均具有负实部。,14,内部稳定性判据：,线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征

6、值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。,线性定常连续系统的传递函数是 ，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。,外部稳定性判据：,稳定区,不稳定区,临界稳定,S平面,图解表示：,二、线性定常系统,15,例4-6 设系统方程为： 试确定其外部稳定性、内部稳定性。,解 （1）系统的传递函数为：,极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。,（2） 求系统的特征方程：,系统不是渐近稳定的。,16,例、设系统的状态空间表达

7、式为 试分析系统的内部稳定性与外部稳定性。,17,基本概念,平衡状态； 李雅普诺夫意义下的稳定； 渐近稳定； 大范围渐近稳定； 不稳定；,18,4-4 李雅普诺夫第二法,李雅普诺夫第二法又称直接法。其基本思路不是求解 系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接 对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行 稳定性分析的。 李雅普诺夫定义一个正定的标量函数 ，作为虚 构的广义能量函数，然后，根据 的符 号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，如 果能找到一个正定的标量函数 ，而 是负定 的，则这个系统是渐进稳定的。 这个 叫做李雅普诺夫函数。,19,一、预备知识 1.标量函数的

8、符号性质,设 为由n维矢量x所定义的标量函数， ， 且在x=0处，恒有 。对所有在域 中 的任何非零矢量x, 如果成立 （1） ,则称 为正定的。 （2） ,则称 为半正定的。 （3） ,则称 为负定的。 （4） ,则称 为半负定的。 （5） 或 ,则称 为不定的。,20,2.二次型标量函数,设 为n个变量，定义二次型标量函数为： 如果 ，则称P为实对称矩阵。,21,对二次型标量函数 ，若P为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，通过变换 ，使之化成 称上式为二次型函数的标准形。其中 为对称矩阵P的互异特征值，且均为实数。则 正定的充要条件是对称阵P的所有特征值 均大于零。,22,矩阵P的符号性质定

9、义如下： 设P为 实对称矩阵， 为由P所决定的二次型函数。 （1）若 正定，则称P为正定， 记作 （2）若 负定，则称P为负定， 记作 （3）若 半正定，则称P为半正定，记作 （4）若 半负定，则称P为半负定，记作 由上可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数 的符号性质完全一致。因此，要判别 的符号只要判别P的符号即可。而后者可由希尔维斯特(Sylvester)判据进行判定。,23,3.希尔维斯特判据,设实对称矩阵 为其各阶主子行列式：,24,（1）若 ，则P（或 ）为正定的。 （2）若 为偶数 ，则P（或 ）为负定的。 为奇数 （3）若 ，则P （或 ）为半正定的。 （4）若 为偶数

10、 为奇数 ，则P （或 ）为半负定的。,矩阵P（或 ）定号性的充要条件是：,25,二、稳定性判据,设系统的状态方程为 平衡状态为 ，满足 。 如果存在一个标量函数 ，它满足： (1) 对所有x都具有连续的一阶偏导数。 (2) 是正定的，即当 。 (3) 分别满足下列条件： 若 为半负定，且 不恒为零，那么平衡状态 为稳定。 若 为负定，那么平衡状态 渐进稳定。 若 为正定，那么平衡状态 不稳定。,26,例：已知系统状态方程 试分析系统平衡状态的稳定性。,27,三、对李雅普诺夫函数的讨论,由稳定性判据可知，运用李雅普诺夫第二法的关键 在于寻找一个满足判据条件的李雅普诺夫函数 。 下面对 的属性作

11、一些讨论： （1） 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对x应具有连续的一阶偏导数。 （2）对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常 是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 （3） 的最简单形式是二次型函数 其中P为对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 并不一定都是简单的二次型。,28,（4）如果 为二次型，且可表示为 则 常值， 在几何上表示状态空间中以原点为中心，以 为半径的超球面， 必 位于 的球面内。 就表示从原点至x点的距离。 便表征了系统相对原点运动的速度。 若这个距离随着时间的推移而减小，即 ， X(t)必将收敛于原点，则原点是渐进稳定的。 若这个距离随着时间的推移而非增，即 ， 则原点是稳定的。 若这个距离随着时间的推移而增加，即 ， 则原点是不稳定的。,29,（5） 函数只表示系统在平衡状态附近某领域内局部 运动的稳定情况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。 （6）由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺 夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别 其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。,30,4-5 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用一、线性定常连续系统渐进稳定判据,设线性定常连续系统为 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是： 对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正定的实对称矩阵 P，满足李雅普诺夫