七年级数学培优专题02-数的整除性

1、七年级数学培优专题02 数的整除性专题02 数的整除性 阅读与思考 设a，b是整数，b0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数， 而a称为b的倍数解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1数的整除性常见特征： 若整数a的个位数是偶数，则2|a； 若整数a的个位数是0或5，则5|a； 若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； 若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； 若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； 若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数

2、，则11|a 2整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： 若a|b，b|c，则a|c； 若c|a，c|b，则c|(ab)； 若b|a，c|a，则b，c|a； 若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； 若a|bc，且a与c互质，则a|b特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c 例题与求解 【例1】在1，2，3，2 000这2 000个自然数中，有_个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除 (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求【例2】已知a，b是正整数(ab)，对于以下两个结论： 在ab，ab，ab这三个数中必

3、有2的倍数； 在ab，ab，ab这三个数中必有3的倍数其中 ( )A只有正确B只有正确 C，都正确D，都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明 【例3】已知整数13ab456能被198整除，求a，b的值 (江苏省竞赛试题) 解题思想：198=2911，整数13ab456能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，求出a，b的值 【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a2b3c的值能被13整除时，那么代数式5a7b22c的值是否一定能被13整除，为什么？ (“华罗庚金杯”邀请赛试题) 解题思想：先把5a7b22c构造成均能被13整除的两个代数式的和，

4、再进行判断 【例5】如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，an中都至少有一个为m的“魔术数” (2013年全国初中数学竞赛试题) 解题思想：不妨设ai?7ki?t(i=1，2，3，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的“魔术数”根据题中条件，利用ai10?m(k是m的位数)被7除所得余数，分析i的取值 k【例6】一只青蛙，位于数轴上的点ak，跳动一次后到

5、达ak?1，已知ak，ak?1满足|ak?1ak|=1，我们把青蛙从a1开始，经n1次跳动的位置依次记作An：a1，a2，a3，an 写出一个A5，使其a1?a5?0，且a1a2a3a4a50； 若a1=13，a2000=2 012，求a1000的值； 对于整数n(n2)，如果存在一个An能同时满足如下两个条件：a1=0；a1a2a3an=0求整数n(n2)被4除的余数，并说理理 (2013年“创新杯”邀请赛试题) 解题思想：a1?a5?0即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左为保证a1a2a3a4a50只需将“向右”安排在前即可 若a1=13，a2000=2 012

6、，从a1经过1 999步到a2000不妨设向右跳了x步，向左跳了y步，则?x?y?1999?x?1999，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳 ?13?x?y?2012?y?0设An同时满足两个条件：a1=0；a1a2a3an=0于a1=0，故从原点出发，经过(k1)步到达ak，假定这(k1)步中，向右跳了xk步，向左跳了yk步，于是ak=xkyk，xkyk=k1，则a1a2a3an=0(x2?y2)(x3?y3)(xn?yn)=2(x1x2xn)(x2?y2)(x3?y3)(xn?yn)=2(x2x3xn)n?n?1?于a1a2a3an=0，所以2n(n1)=4(x2x3xn)即4|n(n1)

7、 能力训练 A级 1某班学生不到50人，在一次测验中，有111的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则732有_人不及格 2从1到10 000这1万个自然数中，有_个数能被5或能被7整除 (上海市竞赛试题) 3一个五位数3ab98能被11与9整除，这个五位数是_ 4在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是(A532 B665C133 D798 5能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( )A1B2C3D6 ) (江苏省竞赛试题) 6用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有(A12个 B18个 C20个 D30个 ) (“希望杯”邀请赛试题) 7五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？ (黄冈市竞赛试题) 81，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cd