上海8年级数学上册几何证明数学提优专题

1、上海8年级数学上册几何证明 评卷人 得 分 一解答题（共22小题）1在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N（1）如图1，若BAC112，求EAN的度数；（2）如图2，若BAC82，求EAN的度数；（3）若BAC（90），直接写出用表示EAN大小的代数式2ABC中，C90，BAC的平分线交BC于D，且CD15，AC30，求AB的长3已知：如图所示，AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G求证：CAEB4如图，ABC中，B22.5，C60，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，BD

2、6，AEBC于点E，求CE的长5如图所示，在ABC中，AD是BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E求证：DFAC证明：AD平分BAC （角平分线的定义）EF垂直平分AD （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）BADADF（ ）DACADF（等量代换）DFAC（ ）6已知：ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点（1）如图，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么BPC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么BOC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图，如果点P（三角形三个

3、内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边ABC的内部，那么BPC和BOC有怎样的数量关系？请直接回答7如图，ABC中，AB，AC边的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，ADE的周长为6cm（1）求ABC中BC边的长度；（2）若BAC116，求DAE的度数8如图，在ABC中，C90，边AB的垂直平分线DE交AC于D（1）若CA16cm，BC8cm，求DC的长度；（2）若BDC的周长是n+2，ABn，求ABC的面积（用含n的代数式表示）9如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分DCB交AB于点E（1）求证：AECACE；（2）若AEC2B，A

4、D2，求AB的长10如图，AB垂直平分线段CD（ABCD），点E是线段CD延长线上的一点，且BEAB，连接AC，过点D作DGAC于点G，交AE的延长线与点F（1）若CAB，则AFG （用的代数式表示）；（2）线段AC与线段DF相等吗？为什么？（3）若CD6，求EF的长11（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）（2）用（1）中的结论解决：如图，ABC中，A30，C90，BE平分ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上12如图，在ABC中，ACB90，A30，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E求证：DEEC（用三种方法证明）13

5、如图，在ABC中，C90，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD若ABD2CBD，求A的度数14如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，BD4cm，CD2cm，（1）求D点到直线AB的距离（2）求AC15如图，在ABC中，ABAC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AB10cm，且ABD的周长为23cm求ABC的周长16如图，ABC中，ADBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BDDE（1）若BAE40，求C的度数；（2）若ABC周长13cm，AC6cm，求DC长17如图所示，ABC的外角ACD的平分线CF与ABC的平分线BG相交于点O求证：点O到三边AB，

6、BC，AC的距离相等18如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E（1）若BC10，则ADE周长是多少？为什么？（2）若BAC128，则DAE的度数是多少？为什么？19如图：在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF，证明：（1）CFEB（2）ABAF+2EB20在ABC中，AD是它的角平分线（1）如图1，求证：SABD：SACDAB：ACBD：CD；（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD3，BECD2，AE2CD，求证：BED是等腰三角形；（3）在图1中，若3BAC2C，ADBBBAD，直接写出BAC的取值范围 21在ABC中，C9

7、0，BD平分ABC，CD3cm，AB10cm，求ABD的面积22如图，在ABC中，点P是BC上一点，PRAB，PSAC，垂足分别为点R、S，PRPS，点Q是AC上一点，且AQPQ（1）求证：QPAR；（2）AR、AS相等吗？说明理由上海8年级数学上册几何证明参考答案与试题解析一解答题（共22小题）1在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N（1）如图1，若BAC112，求EAN的度数；（2）如图2，若BAC82，求EAN的度数；（3）若BAC（90），直接写出用表示EAN大小的代数式【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的

8、距离相等可得AEBE，再根据等边对等角可得BAEB，同理可得，CANC，然后利用三角形的内角和定理求出B+C，再根据EANBAC（BAE+CAN）代入数据进行计算即可得解；（2）同（1）的思路，最后根据EANBAE+CANBAC代入数据进行计算即可得解；（3）根据前两问的求解方法，分090与18090两种情况解答【解答】解：（1）DE垂直平分AB，AEBE，BAEB，同理可得：CANC，EANBACBAECAN，BAC（B+C），在ABC中，B+C180BAC68，EANBAC（BAE+CAN）1126844；（2）DE垂直平分AB，AEBE，BAEB，同理可得：CANC，EANBAE+CAN

9、BAC，（B+C）BAC，在ABC中，B+C180BAC98，EANBAE+CANBAC988216；（3）当090时，EAN1802；当18090时，EAN2180【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键2ABC中，C90，BAC的平分线交BC于D，且CD15，AC30，求AB的长【分析】作DEAB，易得ABCDBE，则，设BDx，BEy，则，解得x2y15，在RtDBE中，BD2DE2+BE2，即（2y15）2y2+152，求得y的值，即可求得AB【解答】解：如图，作DEAB，BED90，BEDC9

10、0，EBDABC，ABCDBE，设BDx，BEy，则，30y152+15x，x2y15，在RtDBE中，BD2DE2+BE2，即（2y15）2y2+152，y（y20）0，y20，ABAE+BE30+2050故答案为：50【点评】此题考查角平分线的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，作辅助线是关键3已知：如图所示，AD是ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点F，交BC的延长线于点E，交AC于点G求证：CAEB【分析】根据角平分线的定义得到BADCAD，根据线段垂直平分线的性质得到AEDE，由等腰三角形的性质得到EADEDA，根据三角形的外角的即可得到结论【解答】解：AD是BAC的

11、平分线，BADCAD，EF是AD的垂直平分线，AEDE，EADEDA，EACEADCAD，BADEBAD，CAEB【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出FADFDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力4如图，ABC中，B22.5，C60，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，BD6，AEBC于点E，求CE的长【分析】根据垂直平分线的性质，利用勾股定理求解即可【解答】解：连接ADDF垂直平分AB，ADBD，DABB22.5，ADE45，AEBC，AED90，EDAEAD45，AEDE设AEDEa，则a2+b2（）2，a6，即AE6，

12、在RtAEC中，C60，EAC30设ECb，则AC2b，（2b）2b236b2，即CE2【点评】本题考查了垂直平分线的性质，熟练运用垂直平分线的性质解答是解题的关键5如图所示，在ABC中，AD是BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E求证：DFAC证明：AD平分BACBADDAC（角平分线的定义）EF垂直平分ADFDFA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）BADADF（等边对等角）DACADF（等量代换）DFAC（内错角相等两直线平行）【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可【解答】证明：AD平分BACBADDAC（角平分线的定义

13、）EF垂直平分ADFDFA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）BADADF（等边对等角）DACADF（等量代换）DFAC（内错角相等两直线平行）故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6已知：ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点（1）如图，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么BPC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么BOC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由

14、；（3）如图，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边ABC的内部，那么BPC和BOC有怎样的数量关系？请直接回答【分析】（1）根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；（2）根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理推导即可；（3）结合（1）（2）的结论BPC90+BAC、BOC2BAC，通过等量代换即可【解答】解：（1）BPC90+BACBP平分ABC，CP平分ACB，PBCABC，PCBACB，BPC180（PBC+PCB）180（ABC+ACB）180（ABC+ACB）180（180BAC）90+BAC；（2）BOC2BAC

15、如图，连接AO点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，OAOBOC，OABOBA，OACOCA，OBCOCB，AOB1802OAB，AOC1802OAC，BOC360（AOB+AOC）360（1802OAB+1802OAC），2OAB+2OAC2BAC；（3）4BPCBOC360，点P为三角形三个内角平分线的交点，BPC90+BAC由BAC2BPC180点O为三角形三边垂直平分线的交点BOC2BAC，BOC2（2BPC180）4BPC360，即4BPCBOC360【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键7如图，ABC中，AB，AC边的

16、垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为点F，G，ADE的周长为6cm（1）求ABC中BC边的长度；（2）若BAC116，求DAE的度数【分析】（1）证明BCADE的周长即可解决问题（2）求出ADE+AED即可解决问题【解答】解：（1）AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，DADB，EAEC，则ADE的周长AD+DE+AEBD+DE+ECBC6（cm），BC6cm，（2）BAC116，B+C18011664，DADB，EAEC，BDAB，CEAC，ADEB+DAB，AEDC+EAC，ADE+AED128，DAE18012852【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理

17、等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型8如图，在ABC中，C90，边AB的垂直平分线DE交AC于D（1）若CA16cm，BC8cm，求DC的长度；（2）若BDC的周长是n+2，ABn，求ABC的面积（用含n的代数式表示）【分析】（1）设CDx，则ADBD（16x）cm，在RtBDC中，根据BD2CD2+BC2，构建方程即可解决问题（2）设BCx，ACy，则有：，2得到：2xy4n+4，推出xy2n+2，由此即可解决问题【解答】解：（1）DE垂直平分线段AB，DADB，设CDx，则ADBD（16x）cm，在RtBDC中，BD2CD2+BC2，（16x）2x2+82，x6，CD6c

18、m（2）BDC的周长n+2，BD+CD+BCn+2，ADDB，AD+DC+BCn+2，设BCx，ACy，则有：，2得到：2xy4n+4，xy2n+2，SABCxyn+1【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题属于中考常考题型9如图，在ABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分DCB交AB于点E（1）求证：AECACE；（2）若AEC2B，AD2，求AB的长【分析】（1）依据ACB90，CDAB，即可得到ACDB，再根据CE平分BCD，可得BCEDCE，进而得出AECACE；（2）依据ACDBCEDCE，ACB90，即可

19、得到ACD30，进而得出RtACD中，AC2AD4，RtABC中，AB2AC8【解答】解：（1）ACB90，CDAB，ACD+AB+A90，ACDB，CE平分BCD，BCEDCE，B+BCEACD+DCE，即AECACE；（2）AECB+BCE，AEC2B，BBCE，又ACDB，BCEDCE，ACDBCEDCE，又ACB90，ACD30，B30，RtACD中，AC2AD4，RtABC中，AB2AC8【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是18010如图，AB垂直平分线段CD（ABCD），点E是线段CD延长线上的一点，且BEAB，连接AC，过点D作DG

20、AC于点G，交AE的延长线与点F（1）若CAB，则AFG45（用的代数式表示）；（2）线段AC与线段DF相等吗？为什么？（3）若CD6，求EF的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BAEAEB45，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接AD，根据线段垂直平分线的性质得到ACAD，求得ADCACB，于是得到ACDF；（3）根据已知条件得到BDCB3，过F作FHCE交CE的延长线于H，得到EHF是等腰直角三角形，求得FHHE，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）ABCD，ABE90，ABBE，BAEAEB45，CAB，CDG90（90）EDFAFGAEDEDF45；故答案为：

21、45；（2）相等，证明：连接AD，AB垂直平分线段CD，ACAD，ADCACB90，DAEADC4545，DAEAFD，ADDF，ACDF；（3）CD6，BDCB3，过F作FHCE交CE的延长线于H，则EHF是等腰直角三角形，FHHE，HABC90，CABCDGFDH，ACADDF，ACBDFH（AAS），FHCB3，EFFH3【点评】本题考查了相等垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键11（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）（2）用（1）中的结论解决：如图，ABC中，A3

22、0，C90，BE平分ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上【分析】（1）写出已知、求证，利用HL证明RtQMARtQMB即可解决问题（2）想办法证明EBEA即可【解答】解：（1）已知：如图，QAQB求证：点Q在线段AB的垂直平分线上证明：过点Q作QMAB，垂足为点M则QMAQMB90，在RtQMA和RtQMB中，QAQB，QMQM，RtQMARtQMB（HL），AMBM，点Q在线段AB的垂直平分线上即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（2）证明：C90，A30，ABC903060，BE平分ABC，ABEABC6030，AABE，EAEB，点E在线段AB的垂直平分线上【点评】本题考查

23、线段的垂直平分线的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题12如图，在ABC中，ACB90，A30，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E求证：DEEC（用三种方法证明）【分析】方法一：如图1，连接BE，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质即可得到结论；方法二：如图2，连接CD，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；方法三：如图3，延长DE交BC的延长线于F，根据直角三角形的性质得到B60，BCAB，根据线段垂直平分线的性质得到BDADAB，BDF90，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】证明：方法一：如图1，连接BE，DE是AB的垂直平分线，

24、BEAE，ABEA30，ACB90，A30，ABC60，CBEDBE30，DEAB，CEBC，CEDE；方法二：如图2，连接CD，在ABC中，ACB90，A30，B60，点D是AB的中点，CDBDAB，BDC是等边三角形，BCDBDC60，BDEACB90，EDCECD30，DECE；方法三：如图3，延长DE交BC的延长线于F，ACB90，A30，B60，BCAB，DE垂直平分AB，BDADAB，BDF90，F30，BDBF，CFBDAD，在ADE与FCE中，ADEFCE（AAS），DECE【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质

25、，正确的作出辅助线是解题的关键13如图，在ABC中，C90，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD若ABD2CBD，求A的度数【分析】依据线段垂直平分线的性质，可得AABD2CBD，设A，则ABD，CBD，依据三角形内角和定理，即可得到A的度数【解答】解：DE为AB的垂直平分线，AABD，又ABD2CBD，AABD2CBD，设A，则ABD，CBD，又C90，A+ABC90，即+90，解得36，A36【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等14如图，在ABC中，C90，AD平分CA

26、B，BD4cm，CD2cm，（1）求D点到直线AB的距离（2）求AC【分析】（1）作DEAB于E，根据角平分线的性质解答；（2）证明RtADCRtADE，得到ACAE，根据勾股定理列式计算即可【解答】解：（1）作DEAB于E，AD平分CAB，C90，DEAB，DECD2cm；（2）在RtADC和RtADE中，RtADCRtADE，ACAE，BD4cm，CD2cm，BE2cm，则AC2+62（AC+2）2，解得，AC2cm【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键15如图，在ABC中，ABAC，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AB10cm，且

27、ABD的周长为23cm求ABC的周长【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得ADCD，然后求出ABD的周长AB+BC，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解【解答】解：DE垂直平分AC，ADCD，ABD的周长AB+BD+ADAB+BD+CDAB+BC，ABAC10，ABC的周长AB+BC+AC22+1032cm【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出ABD的周长AB+BC是解题的关键16如图，ABC中，ADBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BDDE（1）若BAE40，求C的度数；（2）若ABC周长13cm，AC6c

28、m，求DC长【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出ABAECE，求出AEB和CEAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC7cm，即可得出答案【解答】解：（1）AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，ABAEEC，CCAE，BAE40，AED70，CAED35；（2）ABC周长13cm，AC6cm，AB+BE+EC7cm，即2DE+2EC7cm，DE+ECDC3.5cm【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用，主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度适中17如图所示，ABC的外角ACD的平分线CF与ABC的平分线B

29、G相交于点O求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等【分析】过点O作OMAB交BA的延长线于M，过点O作ONBC于N，过点O作OHAC于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OMONOH，从而得证【解答】证明：如图，过点O作OMAB交BA的延长线于M，过点O作ONBC于N，过点O作OHAC于H，ACD的平分线CF与ABC的平分线BG相交于点O，ON0H，OMON，OMONOH，即点O到三边AB，BC，AC的距离相等【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观18如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E（1

30、）若BC10，则ADE周长是多少？为什么？（2）若BAC128，则DAE的度数是多少？为什么？【分析】（1）根据垂直平分线性质得ADBD，AEEC所以ADE周长BC；（2）DAEBAC（BAD+CAE）根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求解【解答】解：（1）CADE10（1分）AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，ADBD，AECE（3分）CADEAD+DE+AEBD+DE+CEBC10（4分）（2）DAE76（5分）AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，ADBD，AECEBBAD，CCAEBAC128，B+C52（7分）DAEBAC（BAD+CAE）BAC（B+C）76（8分）【点

31、评】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形性质等知识点，渗透了整体求值的数学思想方法，难度中等19如图：在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF，证明：（1）CFEB（2）ABAF+2EB【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离点D到AC的距离即CDDE再根据RtCDFRtEDB，得CFEB；（2）利用角平分线性质证明RtADCRtADE，ACAE，再将线段AB进行转化【解答】证明：（1）AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC，在RtCDF和RtEDB中，RtCDFRtE

32、DB（HL）CFEB；（2）AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CDDE在RtADC与RtADE中，RtADCRtADE（HL），ACAE，ABAE+BEAC+EBAF+CF+EBAF+2EB【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离点D到AC的距离，即CDDE，是解答本题的关键20在ABC中，AD是它的角平分线（1）如图1，求证：SABD：SACDAB：ACBD：CD；（2）如图2，E是AB上的点，连接ED，若BD3，BECD2，AE2CD，求证：BED是等腰三角形；（3）在图1中，若3BAC2C，ADBBBAD，直接写出BAC的取值范围40BAC60【分析】（1）作辅助线，构建