三阶系统综合分析与设计

1、课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名：学生姓名： 专业班级：专业班级： 指导教师：指导教师： 工作单位：工作单位： 自动化学院自动化学院 题题 目目: : 三阶系统综合分析与设计三阶系统综合分析与设计 初始条件：初始条件：某单位反馈系统结构图如图 1 所示： )4)(2(sss K)(sR )(sC - )8( 25 ss )(sR )(sC -0 e M )4)(2(sss K 图 1 图 2 要求完成的主要任务要求完成的主要任务: : （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体 要求） 1、 试绘制随根轨迹 2、 当-6 为闭环系统的一个极点时，K=? 3、 求取主导极点阻尼

2、比为 0.7 时的 K 值（以下取这个值） 4、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号为 单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳态误差 2 2)( 1)(ttttr 5、 用 Matlab 绘制单位阶跃相应曲线 6、 绘制 Bode 图和 Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度 7、 如在比较点与开环传递函数之间加 1 个非线性环节，如图 2 所示，其中 ，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述函数和7 . 1, 7 . 0 0 Me Nyquist 图判断系统的稳定性 8、 认真撰写课程设计报告。 时间安排：时间安排： 任务时间（天） 审题、查阅相关资

3、料 1 分析、计算 1.5 编写程序 1 撰写报告 1 论文答辩 0.5 指导教师签名：指导教师签名： 年年 月月 日日 系主任（或责任教师）签名：系主任（或责任教师）签名： 年年 月月 日日 目录 摘要 .1 1 设计意义及要求 .2 1.1 设计意义 .2 1.2 设计要求 .2 2 设计过程 .3 2.1 绘制根轨迹.3 2.1.1 理论计算.3 2.1.2 MATLAB 绘制根轨迹 .4 2.2 极点-6 时的 K 值的求取 .4 2.3 主导极点阻尼比为 0.7 时的 K 值求取.5 2.4 稳态误差.6 2.4.1 系统的误差系数分析.6 2.4.2 系统的稳态误差分析.6 2.5

4、 用 MATLAB绘制单位阶跃响应曲线.6 2.6 绘制 BODE图和 NYQUIST曲线，求取幅值裕度和相角裕度.7 2.6.1 绘制 Bode 图.7 2.6.2 绘制 Nyquist 曲线 .8 2.6.3 幅值裕度和相角裕度.9 2.7 系统加入非线性环节的稳定性分析 .9 2.7.1 非线性环节的描述函数的求取.10 2.7.2 负倒描述函数的求取.11 2.7.3 系统稳定性的判据及原理.12 2.7.4 系统稳定性判断.13 结束语 .14 参考文献 .15 摘要摘要 自动控制原理是为了培养学生统筹运用自动控制原理课程中所学的理论知识， 掌握反馈控制系统的基本理论和基本方法，对工

5、程实际系统进行完整的全面的分析和 综合而开设的重要教学环节，此次课程设计可以锻炼学生的动手能力和解决问题的原 因，把课本知识运用的实际中，同时也以更为自主创新的形式检验了学生对所学知识 的掌握程度。 三阶系统是以三级微分方程为运动方程的控制系统。在控制工程中，三阶系统非 常普遍，其动态性能指标的确定是比较复杂。在工程上常用闭环主导极点的概念对三 级系统进行分析，或直接用 MATLAB 软件进行高级系统分析。在课程设计中，我们不仅 要掌握用 MATLAB 绘制闭环系统根轨迹和和系统响应曲线，用系统的闭环主导极点来估 算三阶系统的动态性能，还要掌握 BODE 图和 Nyquist 曲线的绘制。以及

6、在比较点与开 环传递函数之间加一个非线性环节后用负倒描述函数和 Nyquist 曲线判断系统的稳定 性。 关键字关键字： 三阶系统 闭环主导极点 MATLAB 1 设计意义及要求 1.1 设计意义 本次设计主要是让学生将自动控制原理中所学的理论知识与实践结合起来，对工程实 际系统进行完整全面分析和综合，掌握利用 MATLAB 对控制理论进行分析，研究和仿 真技能，提高分析问题和解决问题的能力。本次的课程设计是对我们平时学习的理论 知识的一个检验，也是让我们更加熟练的运用 MATLAB 软件，更好的解决自动控制方 面的一些问题。 1.2 设计要求 初始条件：初始条件：某单位反馈系统结构图如下图所

7、示： )4)(2(sss K)(sR )(sC - )8( 25 ss )(sR )(sC -0 e M )4)(2(sss K 图 1 图 2 要求完成的主要任务要求完成的主要任务: : （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体 要求） 1、 试绘制随根轨迹 2、 当-6 为闭环系统的一个极点时，K=? 3、 求取主导极点阻尼比为 0.7 时的 K 值（以下取这个值） 4、 分别求取位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数及输入信号 为单位阶跃信号、斜坡信号及单位加速度信号时的稳 2 2)( 1)(ttttr 态误差 5、 用 Matlab 绘制单位阶跃相应曲线 6、 绘制

8、Bode 图和 Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度 7、 如在比较点与开环传递函数之间加 1 个非线性环节，如图 2 所示，其 中，试求取非线性环节的描述函数，并根据负倒描述7 . 1, 7 . 0 0 Me 函数和 Nyquist 图判断系统的稳定性 8、认真撰写课程设计报告。 2 设计过程 2.1 绘制根轨迹 某单位反馈系统结构图如下图所示： )4)(2(sss K)(sR )(sC - 2.1.1 理论计算 （1）根轨迹的起点和终点。根轨迹起于开环极点(包括无限极点)，终于开环零点（包 括无限零点） 。根据系统开环传递函数可得：系统的开环极点分别为 0、-2、-4，开环 零点为

9、无限远。 （2） 根轨迹的分支数。n=3，m=0，所以分支数为 3 。且它们是连续的并且对称于实 轴。 （3） 根轨迹在实轴上的分布。实轴上的某一个区域，若其右边开环零、极点的个数 之和为奇数，则该区域必是根轨迹。因此实轴上(-，-4、 -2,0必为根轨迹。 （4）根轨迹的渐进线。渐近线与实轴的交点 = = -2，即 mn zp m j j n i i a 11 与实轴的交点为（-2,j0）,与实轴的交角为 3 5 , 33 1212 ， k mn k a （k=0，1，2） 。 （5）确定根轨迹的分离点。 分离点的方程为: ，因此可以求得分0 4 1 2 11 ddd 离点 d=-0.85,

10、d=-3.15（不合题意，舍去） （6）根轨迹与虚轴的交点。 由开环传递函数写出系统的闭环特征方程式为 =0Kss86s 23 将代入上式，可得实部方程为，虚部方程为js 06 2 k08 3 jj 解得 所以与虚轴的交点为。22, 0,22, 0jj 3 420 。，4822k 2.1.2 MATLAB 绘制根轨迹 MATLAB 为绘制根轨迹编程如下： num=48; den=1 6 8 0; rlocus(num,den); 绘制出的根轨迹如图 1 所示： -14-12-10-8-6-4-2024 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real A

11、xis (seconds-1) Imaginary Axis (seconds-1) 图 1 闭环根轨迹 根据理论计算和 MATLAB 绘制的根轨迹示意图，可以知道理论计算和 MATLAB 绘制 的根轨迹完全相符。从而可以知道所绘制的根轨迹是正确的。 2.2 极点-6 时的 K 值的求取 闭环系统的特征方程为： 086s 23 Kss 将闭环极点 s=-6 代入方程式中，从而可以得到。所以当-6 为闭环系统的一个48k 极点时，等于 48。k 2.3 主导极点阻尼比为 0.7 时的 K 值求取 当主导极点阻尼比为 0.7 时，先做出的等阻尼比线，使这条直线与负实轴7 . 0 方向的夹角为cos

12、=,此直线的斜率为 k=-tan=-1.02,在 1 7 . 0cos 1 6 . 45 6 . 45 MATLAB 中画出此直线，并能找到与根轨迹的交点 s 即是满足的闭环主导极点 1 7 . 0 之一。编写的此程序为： k=-1.02; x=-25:5; y=k*x; plot(x,y); hold on num=48; den=1 6 8 0; rlocus(num,den); -25-20-15-10-505 -30 -20 -10 0 10 20 30 Root Locus Real Axis (seconds-1) Imaginary Axis (seconds-1) 图2 由图

13、2 我们可以得出 s =-0.753+j0.768，由根轨迹的对称性，可求得另一个极点为 1 =-0.753-j0.768，由幅值条件可知，闭环极点 s 对应的根轨迹的增益为 2 s 1 K= |s | s +2| s +4|=|-0.753+j0.768|1.247+j0.768|3.247+j0.768|=5.27 111 经验证，s 和满足主导极点的条件，另一极点实部的模比主导极点实部的模大三倍 12 s 以上，不是主导极点，所以该系统可近似成一个由主导极点构成的二阶系统传递函数 为： 对应的系统的开环增益为 K = K/8=0.66。 r 2.4 稳态误差 2.4.1 系统的误差系数分

14、析 位置误差系数 00 5.27 lim( )( )lim (2)(4 ss KpG s H s s ss ； ） 速度误差系数 00 5.27 lim( )( )lim0.66 (2)(4 ss KvsG s H ss s ss ； ） 加速度误差系数 22 00 5.27 lim( )( )lim0 (2)(4 ss Kas G s H ss s ss ； ） 2.4.2 系统的稳态误差分析 当输入为 r （t）=1（t）时，稳态误差为 e= 11ss 当输入为 r （t）=2t 时，稳态误差为 e= 2 2ss 当输入为 r （t）=t 时，稳态误差为 e= 3 2 3ss 则当输入为

15、r(t)= r （t）+ r （t）+ r （t）时，总的稳态误差为 123 e= e+ e+ e=. ss1ss2ss3ss 2.5 用 Matlab 绘制单位阶跃响应曲线 系统的闭环传递函数为 27 . 5 86 27 . 5 )( 23 sss s 16. 1s51 . 1 s 16 . 1 ssss ss s2s s 2 21 21 2 nn 2 2 n ）（ ）（ ; 0 1 1 1 1 p K ;03 . 3 66 . 0 22 v K ; 0 22 a K 其分子系数为 5.27，分母系数分别为 1，6，8，5.27 利用 MATLAB 程序可编以下程序： num=5.27; d

16、en=1 6 8 5.27; step(num,den) 在 MATLAB 程序中输入此程序，运行后得到单位阶跃响应曲线如图 3 所示。 0123456789 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (seconds) Amplitude 图 3 单位阶跃响应曲线 2.6 绘制 Bode 图和 Nyquist 曲线，求取幅值裕度和相角裕度 2.6.1 绘制 Bode 图 系统的开环传递函数为 SSs sG 86 27 . 5 )( 23 其分子系数为 5.27，分母系数分别为 1，6，8，0。 利用 MATLAB 程序可编以下程序： num

17、=5.27; den=1 6 8 0; bode(num,den) 在 MATLAB 程序中输入此程序，运行后得到 Bode 图如图 4 所示。 -150 -100 -50 0 50 Magnitude (dB) 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 -270 -225 -180 -135 -90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/s) 图 4 Bode 图 2.6.2 绘制 Nyquist 曲线 系统的开环传递函数为 SSs sG 86 27 . 5 )( 23 可得其分子系数其分子系数为 5.27，分母系数分别为 1，6，8，0

18、。利用 MATLAB 程序 可编以下程序： num= 5.27; den=1 6 8 0; nyquist(num,den) 在 MATLAB 程序中输入此程序，运行后得到 Nyquist 如图 5 所示。 其中 Nyquist 图与实轴的交点：将代入开环传递函数中，令虚部等于 0，得到js 2.83 ，此时曲线与负实轴的交点为（-0.11，j0） 。 -1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 图 5 Nyquist

19、曲线 2.6.3 幅值裕度和相角裕度 系统的开环传递函数为 SSs sG 86 27 . 5 )( 23 可得其分子系数其分子系数为 5.27，分母系数分别为 1，6，8，0 利用 MATLAB 程序可编以下程序： num= 5.27； den=1 6 8 0； mag,phase,w=bode(num,den)； gm,pm=margin(mag,phase,w) 在 MATLAB 程序中输入此程序并运行后得到结果，相角裕度和幅值裕度分别为: 63.8621pm 9.1082gm 。 2.7 系统加入非线性环节的稳定性分析 2.7.1 非线性环节的描述函数的求取 由下图可知非线性环节为有死区

20、的继电特性，其描述函数的推导过程为： 首先从死区与滞环继电非线性环节分析。注意到滞环与输入信号及其变化率的关 系，通过作图法获得如图 6 所示。)(ty )8( 25 ss )(sR )(sC -0 e M )4)(2(sss K 输出的数学表达式为)(ty t tM t ty 2 21 1 , 0 , 0, 0 )( mhh x y M 0 1 2 2 1 2 t 0 x 1 2 2 1 2 2 t 图 6 死区滞环继电特性和正弦响应曲线 图 6 中，由于非线性特性导致产生不同线性变化的区间端点为)(ty A h arcsin 1 A mh arcsin 2 由图 6 可见，为奇对称函数，而

21、非奇函数，由式)(ty ，ttdtyB sin)( 2 0 1 ttdtyA cos)( 2 0 1 得到 ) 1( 2 cos 2 cos)( 22 1 0 1 m A Mh ttdMttdtyA 22 0 1 )(1)(1 2 sin 2 sin)( 22 1A h A mhM ttdMttdtyB 死区滞环继电特性的描述函数为 hAm A Mh j A h A mh A M AN ),1( 2 )(1)(1 2 )( 2 22 取 m=1,得死区继电特性的描述函数为 hA A h A M AN ,1 4 )( 2 根据已知条件可得，,代入上式中可得到此非线性系统的描述函数：7 . 0 0

22、 eh7 . 1M 22 7 . 0 1 8 . 6 1 4 )( AAA h A M AN 2.7.2 负倒描述函数的求取 由死区继电特性的描述函数为 hA A h A M AN ,1 4 )( 2 取，则 A h u 1,1 4 )()( 2 uuu h M uNAN 对求导数)(uN 2 2 2 2 2 1 214 1 1 4)( u u h M u u u h M du udN 由极值条件的得解0 )( du udN 2 1 M m A h u 又当时，；当时，故为 N(A)的极大值点， m AAh0 )( du udN m AA0 )( du udN m A 极大值为 55 . 1

23、2 )( h M AN m 所以可得到负倒函数的极大值 65. 0 )( 1 m AN 负倒函数的极小值 )( 1 )( 1 NhN 负倒函数曲线如图 7 所示。 )( 1 AN -0.11-0.65 AN 1 G j 0 图 7 系统的和曲线 G AN 1 2.7.3 系统稳定性的判据及原理 由于要求 G(s)具有低通特性，故其极点均应位于 s 的左半平面。当非线性特性采 用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为 0)()(1jGAN 即 )( 1 )( AN jG 在复平面上绘制曲线和曲线时，曲线上箭头表示随 A 增大， G )( 1 AN )( 1 AN 的变化方向。 )( 1 AN

24、若曲线和曲线无交点，表明无的正实数解。以下为两种 G )( 1 AN 0)()(1jGAN 可能形式。 a.曲线包围曲线，对于非线性环节具有任一确定振幅 A 的正弦输入信号， G )( 1 AN （，j0）点被曲线包围，此时系统不稳定，A 将增大，并最终使 A 增大到极 )( 1 AN G 限位置或使系统发生故障。 b.曲线不包围曲线，对于非线性环节的具有任一确定振幅的正弦信号， G )( 1 AN 点不被曲线包围，此时系统稳定 A 将减小，并最终使 A )( 1 Im, )( 1 Re ANAN G 减小为零或使非线性环节的输入值为某定值，或位于该定值附近较小的范围。 综上可得非线性环节系统的稳定性判据：若曲线不包围曲线，则非线性系统 G )( 1 AN 稳定；若曲线包围曲线，则非线性系统不稳定。 G )( 1 AN 2.7.4 系统稳定性判断 根据原系统的 Nyquist 图可知，图像与实轴交于（-0.11，j0）点，负倒函数的极大值 为