不等关系与绝对值不等式及习题

1、 不等式和基本不等式一知识梳理1.实数大小的比较方法(1)作差法：aba-b0，aba-bb,那么ba;如果bb.(2)性质2:如果ab,bc,那么ac.(2)性质3:如果ab,那么a+cb+c.推论:如果ab,cd,那么a+cb+d.(4)性质4:如果ab,c0,那么acbc;，如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd.推论2:如果ab0,那么a2b2.推论3:如果ab0,那么anbn(n为正整数).推论4:如果ab0,那么 (n为正整数).3.含有绝对值不等式(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|a|+|b|,其中等号成立的条件为ab0.说明:定理中的b以-b代替,则有|a-

2、b|a|+|b|.，其中等号成立的条件为ab0.对任意实数a和b,有|a|-|b|ab|a|+|b|.(2)绝对值不等式的解法解含有绝对值的不等式,关键在于利用绝对值的意义,设法去掉绝对值符号,把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组,常用的方法有定义法、平方法、公式法等.4.平均值不等式定理1:对任意实数a,b,有a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=”号).定理2;定理3:对任意三个正数a,b,c,有a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时取“=”号).二典例分析题型一 比较两个数的大小点评:比较两个实数的大小,可以用作差法或作商法,若含有未知字母,注意分类讨论.练习1: 已知a,

3、b,cR+,且bc,比较ab与ac+bc的大小.题型二 绝对值三角不等式定理的应用对于绝对值三角不等式定理：|a|b|ab|a|b|，要从以下两个方面深刻理解：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时(2)该定理可以推广为|abc|a|b|c|，也可强化为|a|b|ab|a|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证例2 （1）f(x)|3x|x2|的最小值为_（2）若不等式|x-a|+|x-2|1对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是_.练习2 已知f(x)=|x-1|+|2x+3|.若f(x)m对一切xR都成立,求实数m的取值范围;题型三 绝对值不等

4、式的解法(1)形如|xa|xb|c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：求零点；划分区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值(2)上述不等式也可用|xa1|xa2|的几何意义去求解集例3解下列不等式：(1)|x1|3； (3)|x22x4|2x； (4)4|x6|32x.（5）2|x|+|x-1|c,|b-c|a,求证:c0,b0,下列不等式中不成立的是5.设a,b,c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是6.函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是( )A.1 B.2 C.-2 D.不存在7.设a,bR,a2+2b2=6,则a

5、+b的最小值为8.不等式|x-1|+|x+2|5的解集为( )9.设a1,方程|x+logax|=|x|+|logax|的解是( )A.0x1 B.x1 C.xa D.07|x+1|与不等式ax2+bx-20同解,而|x-a|+|x-b|k的解集为空集,则k的取值范围为_.12.设正数a,b,c,d满足a+d=b+c,且|a-d|b-c|,则ad与bc的大小关系是_.三、解答题14.(2009宁夏海南)如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离4倍与C与B的距离的6倍的和.(1)将y表示成x的函数;(2)要使y的值不超过70,x

6、应该在什么范围内取值、答案：练习1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)-bc,bc,b-c0,a(b-c)0,c0,bc0,-bc0,a(b-c)-bc0,abac+bc.例2（1）解析：|3x|x2|3x(x2)|1，f(x)min1.，答案：1（2）解析:由题得|x-a|+|x-2|(x-a)-(x-2)|=|a-2|,|a-2|1,解得a(-,1例3 【思路分析】这四个小题分别代表四个基本类型【解析】(1)原不等式等价于2x12，解得x|1x3或x213，得x2或x2.由x213，得x22或x2(3)原不等式等价于x22x42x.解得无解，解得x2.原不等式的解集为x|xR且x2(4)原不等式等价于(32x)x6(32x)即解之得xc,|b-c|a,，所以c-a|a-b|-|b-c|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|由c-a|c-a|知c-a0,所以ca.例6 （1）（2）练习5：例7 答案:B练习6 例8 【解析】(1)由于f(x)则函数yf(x)的图象如图所示(2)由函数yf(x)与函数yax的图象可知，当且仅当a或a0,logax0,a1,x1. 答案:B10，,11.解析:不等式5-x7|x+1|的解集为x|-2x-14，则由根与系数关系可得a=-4,b=-9.又知|x+4|+|x+9|(x+4)-(x+9)|=5,，由