《数学建模概论》PPT课件.ppt

1、数学的模型与实验概论,数理学院 付丽华 ,1.1 数学与数学模型,数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。 数学的产生和发展一直和数学模型紧密相连。 数学模型具有预测，判别，解释三大作用，其中预测是数学模型价值最重要的体现。,玩具、照片、飞机、火箭模型, 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图、分子结构图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.,1.1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：

2、,答：船速为20km/h.,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?,x=20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速为20km/h）.,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假

3、设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,1.1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视.,在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.,“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.,“计算和建模重新成为中心课题，它们是数

4、学科学技术转化的主要途径” .,数学建模的重要意义,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,几个例子,例1.1 谷神星的发现,1764年，瑞士波奈特哲学家出版了自然观察一书，德国人提丢斯在读了该书后，从中总结出一个级数，用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离。后来波德修改为如下“提丢斯-波德”定则: 当时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然地思考为什么 时没有行星对应？,例1.2 跑步问题,例1.3 随机事

5、件的频率稳定性,数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.2 数学模型与数学建模,例（万有引力定律的发现 ）,十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料

6、进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。,如图，有椭圆方程 :,矢径所扫过的面 积A的微分为:,由开普勒第二定 律:,常数,立即得出:,即:,椭圆面积,由此得出,常数,简单推导如下：,我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：,进而有 加速度,以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是,因此得出,也就是说行星的加速度为,那么就导出著名的 万有引力定律：,1.

7、了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,1.3 数学建模的一般步骤,1.4 数学模型的分类,建模的基本方法,机理分析法；从客观实际出发，根据事实推理分析，应用已知数据进行计算和确定模型的参数。 数值分析法；选用插值方法、差分方法、样条函数和回归分析等方法对已知数据进行数值拟合。 构造分析法；先假

8、设一个合理的数学结构，再用已知数据确定模型的参数，或对模型进行模拟计算。 现成数学法；用现成的数学模型，常用的有微分方程、线性规划、概率统计、层次分析、图论、人工神经网络、模糊数学、灰色系统理论等。 直观分析法。通过对图形和数据的直观分析，对参数进行估计和计算，并对结果进行模拟。,数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果

9、用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。,1.5 数学建模与能力的培养,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问从相遇点到会合处开 车需要多长时间？,1.6 一些简单实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,分析 本题多少 有点象 数学中 解

10、的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。,一辆汽车在拐弯时急刹车， 结果冲到路边的沟里（见图 1.1）。交警立即赶到事故现 场。司机申辩说，当他进入 弯道时刹车已失灵，他还一 口咬定，进入弯道时其车速 为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？,例5 交通事故调查,交警在现场获取的相关数据:,X指刹车痕迹方向；Y指垂直X轴方向。 经勘察还发现，该车并没有偏离它的行驶转弯方向，也就是说车头一直指向转弯曲线的切线方向。,表1.1刹车痕迹的测量值(米),模型假设,（1）该车的重

11、心沿一个半径为r的园做圆周运动（根据交通学原理，现有公路的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵，所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上，摩擦系数为常数k，汽车质量为m。,模型建立,根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h,由勾股定理得, 由表1.1得 c33.27m, h3.55m, r40.75m. 通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦系数的值,也可以通过交通部门获得,本例取kg=8.175m/s。代入(1.2)式

12、得 v=18.2m/s。,模型解释 这一结果比司机所说的车速(17.9m/s)略大一些,但基本上可以认为司机所说的结果是可以接受的。,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型.,亲自动手，认真作几个实际题目.,1983年，美国一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面竞赛的可能性； 1985年，美国第一届大学生数学建模竞赛（mathematical contest in modeling,MCM） 1989年，北京的三所大学组队参加美国的MCM竞赛。 1992-199

13、3，中国工业与应用数学学会（CSIAM）举办两次中国大学生数模竞赛 ，得到教委充分肯定。,1.7 数学建模竞赛,1994年起，每年9月组办全国大学生数学建模竞赛； 1999年，开始设立大专组的竞赛； 2006年，教育部高教司每年举办一次全国研究生数学建模竞赛。,竞赛简介,建模题目每年都是2道，参赛队员任选1题，一般来说，一道连续的，一道离散的。或者一道是开放的，另一道是严谨的（答案唯一）。 评奖：特等奖、国家一等奖、二等奖，省赛区一、二、三等奖和成功参赛奖。,建模论文结构,摘要（1500字以内，A4的纸一页，放在论文的第一页）； 问题的重述（按自己的理解对所给的题目作更清晰地表述）； 问题的分

14、析（根据问题的性质，打算建立什么样的模型）； 模型假设（有些假设需作必要解释）； 模型设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）； 模型的解法与结果； 模型的分析与检验，包括误差分析、稳定性分析等； 模型的优缺点及改进方向； 必要的计算机程序。,1.8数学建模活动与高校学生综合素质培养,数学建模是全国高校规模最大的课外科技活动，包括数学建模课程和参加数学建模竞赛两方面，可以从以下几个方面提高学生素质和能力： （1） 数学素质和能力； 数学语言表达问题；数学理论分析问题；数学方法解决问题；数学思想思考问题（数学模型的抽象能力、数学模型指导实际工作的演绎能力）。 （2）计算机应用能力； 学会运用计算机的计算资源；学会搜索互联网资源。 （3）论文写作能力； 应用流畅的文字表达我们需要解决什么问题，建立怎样模型，何种方法求解，结果怎样，效果怎么样等等，对于理工科学生很有意义。,（4）团结合作精神和进行协调的组织能力，需要团队合作