《多项式与插值》PPT课件.ppt

1、,第四章 多项式与插值,4.1 MATLAB与多项式,一、 多项式的建立 1. MATLAB中多项式用行向量表示，其元素为 多项式的系数，且从左至右按降幂排列； 2. 已知一个多项式的全部根 X，求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以 X为全部根的一个多项式 P（首项系数为1），当 X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为 m+1的向量。,3. 给定 n+1个点可以唯一确定一个 n 阶多项式，利 用polyfit可以确定多项式的系数。 调用格式为： p=polyfit(x, y, n) 其中 x, y是同维向量，代表数据点的横、纵坐标， n 是多项式的阶数。,二、 多项式计算 1.

2、多项式求根 求多项式 p(x)的根的函数是roots(P)，这里，P是 p(x)的系数向量，该函数返回方程 p(x)=0 的全部根 (含重根，复根)。 2. 多项式求值 求多项式 p(x)在某点或某些点的函数值的函数是 polyval(P, x)。若x为一数值，则求多项式在该点的 值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元 素求其多项式的值。,例1 已知一个多项式 (1)计算f (x)=0 的全部根。 (2)由方程f (x)=0的根构造一个多项式 g(x)，并与 f (x) 进行对比。 (3)计算f (5)、f (7.8)、f (9.6)、f (12.3)的值。,P=3,0,4,-5,-7

3、.2,5; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x) X0=5,7.8,9.6,12.3; f=polyval(P,X0) %求多项式f(x)在给定点的值,3. 多项式的四则运算 (1)多项式的加减法,注：多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要 求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。,function p3 = poly_add(p1,p2) n1=length(p1); n2 = length(p2); if n1=n2 p3 = p1 + p2; end if n1n2

4、， p3 = p1 + zeros(1,n1-n2) ,p2;end if n1n2 ，p3 = zeros(1,n2-n1) ,p1 + p2; end,加法：c=poly_add(a,b) 减法: c=poly_add(a,-b),(2)多项式的乘法 函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。 (3)多项式的除法 函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2 作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式， r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系 数向量。 deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,例2 设有两个多项式，

5、计算： (1)求f(x)+g(x)、f(x)-g(x)。 (2)求f(x)g(x)、f(x)/g(x)。,f=3,-5,2,-7,5,6;g=3,5,-3; poly_add(f, g) %求f(x)+g(x) poly_add(f, -g) %求f(x)-g(x) conv(f, g) %求f(x)*g(x) Q,r=deconv(f,g) %求f(x)/g(x)，商式送Q，余式送r。,4. 多项式的微分与积分 （1）对多项式求导数的函数是： p=polyder(P) 求多项式P的导函数 p=polyder(P,Q) 求P*Q的导函数 p,q=polyder(P,Q) 求P/Q的导函数，导函

6、数的 分子存入p，分母存入q。 （2）对多项式的积分函数： d=poly_itg(c) d是多项式c积分后的系数，但 不包括积分常数,function py = poly_itg(p) n=length(p); py = p.*n:-1:1.(-1),0;,例3 求有理分式的导数。,P=3,5,0,-8,1,-5; Q=10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100; p,q=polyder(P,Q),若求多项式P的积分：,c=poly_itg(P),4.2 MATLAB插值,通常取 为多项式函数代数插值（多项式插值）,已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2

7、,n),则称 P(x) 为 f(x) 的 n 次代数插值多项式. 称x0, x1, xn为插值结点; P(x)为插值函数; 条件P (xk)= yk (k = 0,1,n)为插值条件; f(x)为被插值函数.,如果 P(x)=a0 + a1x + anxn 满足: P(xk)= yk (k = 0,1,n),设 f(x)C a , b, 取点 a x0 x1xnb,代数插值问题,定理： 若插值结点x0,x1,xn 是(n+1)个互异点，则满足插值条件 P(xk)= yk (k = 0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0 + a1x + anxn 存在而且是唯一的。,方程组系数矩阵取行列式

8、,故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.,构造3次多项式P(x) 逼近 Erf(x),设P(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3, 令 P(xk)=Erf(xk),得,求解，得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538 所以, P(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x3,MATLAB计算程序 x=0:.6:1.8; y=erf(x); x=x;y=y; A=ones(4,1) x x.2 x.3; p=Ay; a0=p(1);a1=p(2); a2=p(3);a3=p(4); t=0:.2:2; u=a0

9、+a1*t+a2*t.2+a3*t.3; plot(x,y,o,t,u),注:一次多项式插值 - 过两点直线; 二次多项式插值 - 过三点抛物线; 不用待定系数法 - (1)计算量大; (2)不易讨论误差;,几何意义：两条曲线有交点（公共点）,一、线性插值,线性插值是两个数据点的直线拟合,或,误差估计：,在MATLAB中，命令 interp1可做线性插值， 调用格式为： yiinterp1( x, y, xi),其中 x 表示数据点横坐标的列数组，y 表示数据 纵坐标的列数组（可以有多列）。,另外，interp1命令有三种可选参数,yi = interp1(x,y,xi, linear ) 线

10、性插值（缺省） yi = interp1(x,y,xi, spline ) 三次样条 yi = interp1(x,y,xi, cubic ) 三次插值,例3 已知数据表如下，分别求 y0.9，0.7，0.6，0.5 处 x 的值。,x = 0.0,0.25,0.5,0.75,1.0; y= 0.9126,0.8109,0.6931,0.5596,0.4055; yi = 0.9,0.7,0.6,0.5 xi = interp1(y,x,yi,linear); yi , xi,ans 0.9000 0.0310 0.7000 0.4854 0.6000 0.6743 0.5000 0.8467

11、,二、用幂级数做多项式插值,给定 n+1 个数据点：,过 n+1个点的 n 阶多项式可写为幂级数形式：,注：过 n1个数据点的 n 阶插值多项式是唯一的。,对 n1个数据点，设 ，则得到 n+1个线性方程，可以表示为矩阵形式,求解该方程组可确定系数（或用 polyfit(x,y,n)确定）,例3 求下列数据点拟合多项式的系数，并求当 x2.101和4.234处 y 的值，并画出数据点和曲线。,x=1.1, 2.3, 3.9, 5.1; y=3.887, 4.276, 4.651, 2.117 ; n=length(x)-1 ; a(:,n+1)=ones(size(x); a(:,n)=x;

12、for j=n-1:-1:1 a(:,j)=a(:,j+1).*x; end coeff=ay;,xi=2.101, 4.234; yi=zeros(size(xi); for k=1:n+1 yi = yi + coeff(k)*xi.(n+1-k) end xp=1.1:0.05:5.1; yp=zeros(size(xp); for k=1:n+1 yp=yp + coeff(k)*xp.(n+1-k); end plot(xp,yp, x,y, ro),三、Lagrange插值多项式,1.插值基函数,形状函数的图形如下（n8）,2.Lagrange插值多项式,function fi =

13、 Lagran_(x, f, xi) fi=zeros(size(xi); np1=length(f); for i=1:np1 z=ones(size(xi); for j=1:np1 if i=j z = z.*(xi - x(j)/(x(i)-x(j); end end fi=fi+z*f(i); end return,3. MATLAB程序实现:,调用格式： yi =Lagran_( x, y, xi),clear x = 1.1, 2.3, 3.9, 5.1; y =3.887, 4.276, 4.651, 2.117; xi = 2.101, 4.234; yi = Lagran_

14、(x, y, xi),例4：写出拟合下面三个数据点的Lagrange插值公式，并计算 x2.101、4.234时 y 的值。,4. 截断误差：,例5 用 的5个等距点对函数进行插值估计。,插值结果及误差分布如下图：,可见，误差峰值出现在端点附近的区间里，这是由于 的局部峰值在端点附近。,Runge反例: , (-5x5),取xk= 5+k 计算: f(xk) (k=0,1,10) 构造L10(x). 取:tk= 5+0.05k (k=0,1,200),计算: L10(tk),x=-5:5;y=1./(1+x.2); t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t);

15、for i=1:n z=t(i);s=0; for k=1:11 Lk=1;u=x(k); for j=1:11 if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j); end end s=s+Lk*y(k); end y2(i)=s; end plot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r),减小误差的方案： （1）减小插值区域，即 ba； （2）增加数据点个数； （3）使用可变间距的数据点(Chebyshev点)。,总结： （1）尽可能在小区间上使用多项式插值； （2）只能在一定范围内依靠增加插值点个数提高插 值精度，如果插值点个数过多往往会适得其反。,5. Lagrange 插值公式

16、的微分与积分,插值公式,微分,实际上， 是一个拟合如下数据点的 n 阶多项式,一般地， 是拟合数据点的多项式,所以，多项式 可通过拟合待定数据点的 n 阶多项 式表示为幂级数形式。,对所有 i， 的幂级数形式可用函数 shape_pw 计算,function p = shape_pw(x) np = length(x); for j=1:np y = zeros(1,np); y(j) = 1; p(j,:)=polyfit(x,y,np-1); end,如例4也可求解如下：,x = 1.1, 2.3, 3.9, 5.1; y = 3.887, 4.276, 4.651, 2.117; xi

17、= 2.101 ,4.234; np = length(x); p=shape_pw(x); s=0; for i=1:np s = s+p(i,:) .*y(i); end s yi=polyval(s,xi),结果为： yi 4.1457 4.3007,为计算Lagrange插值多项式的一阶导数，可用polyder 函数将 p 的每一行转换为一阶导数的系数数组。,x = 1.1, 2.3, 3.9, 5.1; y = 3.887, 4.276, 4.651, 2.117; xi = 2.101 ,4.234; np = length(x); p=shape_pw(x); s=0; for

18、i=1:np s = s+polyder(p(i,:).*y(i); end yi=polyval(s,xi),结果为： yi 0.6292 -1.4004,取x0, x1, x2,求二次函数 P(x)=a0 + a1(x x0) + a2 (x x0)(x x1) 满足条件 P(x0)=f(x0), P(x1)=f(x1), P(x2)=f(x2),插值条件引出关于a0, a1, a2方程,四、牛顿插值问题,解下三角方程组过程中引入符号,a0 = f(x0), a1 = fx1, x2, a2 = fx0, x1, x2,P(x)=a0 + a1(x x0) + a2 (x x0)(x x1

19、),定义 :若已知函数 f(x) 在点 x0, x1, , xn 处的值 f(x0), f(x1), , f(xn),如果 i j ,则,n阶均差,例 由函数表求各阶均差,解:按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下,MATLAB程序计算,-56 -16 -2 -2 4 -56 40 14 0 3 -56 40 -13 -7 1 -56 40 -13 2 2 -56 40 -13 2 0,x=-2 -1 0 1 3; y=-56 -16 -2 -2 4; f=y n=length(x); for k=2:n for j=n:-1:k f(j)=(f(j)-f(j-1)/(x(j)-x(j+1

20、-k); end f end,另外一个程序： x=-2 -1 0 1 3; y=-56 -16 -2 -2 4; n=length(x); A=zeros(n,n); A(:,1)=y; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(x(i)-x(i-j+1); end end A,-56 0 0 0 0 -16 40 0 0 0 -2 14 -13 0 0 -2 0 -7 2 0 4 3 1 2 0,在编写牛顿插值多项式程序之前，复习几个命令： 例 6.1.2 求三个一次多项式积。它们的零点分别依 次为0.4、0.8、1.2。 解：X1=

21、0.4,0.8,1.2; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1) 运行后输出结果为 l1 = 1.0000 -2.4000 1.7600 -0.3840 L1 = x3-12/5*x2+44/25*x-48/125 P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2); C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同.,牛顿插值多项式的函数文件： function A,C,L= newploy(X,Y) n=length(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y;

22、for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k); d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k); end L(k,:)=poly2sym(C);,例：给出节点X=-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25，Y=17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05，作五阶牛顿插值多项式和差商 。 解：X=-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.2

23、5; Y=17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05; A,C,L= newploy (X,Y),五、Chebyshev多项式,等距Lagrange插值的误差在中间部分最小，越靠近端点处误差越大，降低误差的一种方法是改变插值点的分布，即增大定义域中间部分的插值步长，同时减少定义域两端的插值步长，但是最优的插值点分布取决于插值多项式的目的。,若目的是近似一个函数，则最优插值点Chebyshev多项式的零点，因为 （1）此时L(x)分布是最平坦的分布； （2）误差值不会像等距插值那样随不同插值区间 而变化。,Lagrange插值余项定理: 取插值结点 ax0 x1xnb 则满

24、足Ln(xk)=f(xk)的 n 次插值多项式Ln(x) 误差,其中,选择: x0, x1 , xn , 使,结论: Chebyshev多项式Tn+1(x)的全部零点,Chebyshev多项式：,当 时，Chebyshev多项式的图形如下,幂级数形式Chebyshev多项式的系数可由函数 Cheby_ pw计算,function pn = Cheby_pw(n) pbb=1; if n=0, pn=pbb; break; end pb=1 0; if n=1, pn=pb; break; end for i=2:n; pn= 2*pb,0 - 0, 0, pbb ; pbb=pb; pb=pn

25、; end,调用格式： p=Cheby_pw(n) n为多项式阶数，p是系数的行数组,Chebyshev多项式的根系数可由 roots命令计算 roots(Cheby_ pw(n),也可如下求解，令,得,有 k 个根，都在-1,1，也可用下面公式计算：,若插值区间为a,b，可建立映射,下图比较了区间 上9个Chebyshev点和等距 点条件下L(x)的分布,例. 函数,取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,x-5, 5,w11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),w1

26、1(x) 的图形,-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491,w11(x),w11(x)=(x x0)(x x1)(x x2)(x x10),插值函数L10(x)取 Chebyshev结点,插值函数L10(x)取 等距结点插值,六、Lobatto点,Lobatto点是Chebyshev多项式的零点加上 x -1和 x1 对区间a,b，k +1个Lobatto点可由 k 阶Chebyshev 多项式得到,七、Legendre多项式,Legendre多项式：,n 阶Legendr

27、e多项式的系数可由函数Legen_pw计算：,function pn = Legen_pw(n) pbb=1; if n=0, pn=pbb; break; end pb=1 0; if n=1, pn=pb; break; end for i=2:n; pn= ( (2*i-1)*pb,0 - (i-1)*0, 0, pbb )/i; pbb=pb; pb=pn; end,调用： p=Legen_pw(n),n 阶Legendre多项式的根可由roots计算。,已知节点x0和x1处的函数值及导数值,求三次插值函数,八 、三次Hermite插值问题,例:已知插值条件: 求3次插值函数.,解:设

28、,得 a0=0, a1=0, 列出方程组,求解, 得 a2 = 3 , a3 = 2,所以,有 H(x) = 3x2 2x3 = (3 2x)x2,利用基函数表示Hermite插值,定理:两点Hermite插值的误差估计式,反复应用Roll定理,得F(4)(t)有一个零点设为,由,得,所以,显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存在F(t)的两个零点t0 , t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F(x)的零点,故F(x)有四个相异零点.,当插值节点含有奇点时的处理方法，以三次Hermite多项式为例。 三次Hermite多项式：,可以拟合两点函数值和导数值。,已知

29、两点 和 及它们的函数值和导数值，可建立方程组：,若用有限差分近似表示导数边界条件,可通过Lagrange插值确定该方程组的系数。,当y(x)、x(y)含有奇点时，常需引入一个参数 s，并将 x 和 y 表示为 x(s) 和 y(s)，假设点A处 s =0，B处 s =1，则 x，y 表示为关于 s 的三次多项式：,x(s) 和 y(s)的边界条件可写为：,其中a、b是任意参数，在一定程度上影响曲线形状。,例6 确定一条经过点A、B的曲线，使满足,解：引入 s，按上述方法可得到两方程组,分别求解：,a=3;b=3; c=0 0 0 1;0 0 1 0;1 1 1 1;3 2 1 01;a;4;

30、0 d=0 0 0 1;0 0 1 0;1 1 1 1;3 2 1 01;0;2;b s=0:0.01:1; x=polyval(c,s) y=polyval(d,s); plot(x,y),结果：c=-3 3 3 1 d=1 0 0 1,若用差分近似，设置四个数据点：,取 ，求解,z=0.01; a=3; b=3; s(1) = 0; x(1) = 1; y(1) = 1; s(2) = z; x(2) = 1+z*a; y(2) = 1; s(3) = 1 - z; x(3) = 4; y(3) = 2 - z*b; s(4) = 1; x(4) = 4; y(4) = 2;,c=poly

31、fit(s,x,length(s)-1); d=polyfit(s,y,length(s)-1); ss=0:0.1:1; xp = polyval(c,ss); yp = polyval(d,ss); plot(xp,yp) ylabel(y) xlabel(x),结果是： c=-3.9021 3.1231 2.9691 1 d=1.0307 -0.0309 0.0002 1,九 、分段插值 问题：结点增多，多项式次数增高，逼近精度越 好？未必！多结点高次插值往往在局部误 差更大Runge（龙格）现象。 实用：采用分段低次插值 有分段线性，分段二次插值等 缺点：分段插值函数只能保证连续性，

32、不能保证 光滑性。,分段插值法可以克服在大范围内使用高次插值带来的误差 放大的问题。所谓的分段插值法就是首先在插值区间a,b上插 入节点 然后在每个小的子区间xi-1,xi上构造低次插值多项式。再将每 个子区间上的多项式连接，作为插值区间的插值函数。 1. 分段线性插值：区间a,b上的分段线性插值函数为,分段线性插值在MATLAB中的函数调用： yi = interp1(x0,y0,xi) 1）横纵坐标都是向量； 2）x是n维向量，y为矩阵时，行数必须是x的维数。 例：x0 =-6:6; y0 =sin(x0); xi = -6:.25:6; yi = interp1(x0,y0,xi); x

33、=-6:0.001:6; y=sin(x);plot(x0,y0,o,xi,yi,x,y,:), legend(节点(xi,yi),分段线性插值函数,被 插值函数y=sinx) title(y=sinx及其分段线性插值函数和节点的图形),分段Hermite插值：即在每个小区间上用分段的 三次Hermite插值。 在matlab里有专门的调用函数： y1=interp1(x,y,x1,pchip) 例: x0 =-6:6; y0 =sin(x0); xi = -6:.25:6; yi = interp1(x0,y0,xi,pchip); x=-6:0.001:6; y=sin(x); plot(

34、x0,y0,o,xi,yi,x,y,:), legend(节点(xi,yi),分段埃尔米特插值函 数,被插值函数y=sinx) title(y=sinx及其分段埃尔米特插值函数和 节点的图形),x=-5:5; y=1./(1+x.2); plot(x,y,x,y,o),x=-5:5; y=1./(1+x.2); xi=-5:.05:5; yi=spline(x,y,xi); plot(xi,yi,b,x,y,ro),被插值函数:,-5 x 5,十、样条插值,分段线性插值可以得到整体连续函数，但在连接点处一般不光滑，而Hermite 插值虽然在连接点处一阶光滑，但整体插值由于结点多次数高而有可能

35、发生龙格现象，若用分段三次Hermite插值，节点处一阶导数连续光滑，但在曲线的凹凸性变化比较大的地方，误差较大。,既想分段插值，又想在结点处保持光滑，甚至二阶光滑三次样条。,希望：,定义：设有 n +1个点的点列,若函数 满足：,(3) 在整个区间 内具有二阶连续导数。,(2) 在每个小区间,上是三次多项式；,-此时 叫插值函数；,则称 为点列的三次样条插值函数或三次样条多 项式，简称三次样条。,定义中的一阶导数连续意味着曲线没有急弯，二 阶导数连续意味着曲线每一点的曲率半径有意义。,则样条函数可写为,考虑区间,令,列方程组,求解得：,所以,则在区间 上,同理，在区间 上,由在节点 处连续，

36、式、相等，消去 ，得：,式除了对第一个点和最后一个点不成立外，其 它各点均成立，所以共有 n-2 个方程，而待定的 个数为 n，所以还需两个额外条件，可由下述边界 条件提供。,常见到的边界条件有三种：,（a）在端点处指定 ，若已知 ，则方程组为：,该方程组为含 n-2 个未知量的 n-2 个方程，其系数矩阵为三对角阵，可用追赶法求解。,大多数情形中，可令 ，等价于在几何 上趋于端点的曲线变为直线。,（b）从内部外推 ， 利用 对 进行外推,将其代入方程组的第一个方程中，整理得：,类似，利用 对 进行外推,将其代入方程组的最后一个方程，整理得：,此时，同样得到一三对角方程组，求解即可。,（c）循

37、环边界条件 适用于封闭曲线，即第一个点和最后一个点相 同，它们的导数值也相同，此时相当于有 n-1个点， 相应有 n-1个方程，可以求解。,在MATLAB中，三次样条插值运算实现如下： yi=interp1( x, y, xi, spline) 或 yi=spline( x, y, xi ) 其中 x，y 都是向量形式的点，xi是进行插值的点的 横坐标向量，yi 为插值函数值。,例7 求三次样条插值并作图比较。,%以s为参数，分别做x，y的样条函数 xx = -1 -0.866 -0.5 0 0.5 0.866 1 1 1.0402 1.1500 1.3. 1.54 1.8280 2.1736

38、 2.5883 3.0860; yy = 0 -0.25 -0.433 -0.5 -0.433 -0.25 0 0 0.15 0.2598 0.3. 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3; s=1:length(xx);sp=1:length(xx)/100:length(xx); xp=spline(s,xx,sp); yp=spline(s,yy,sp); plot(xp,yp); hold on plot(xx,yy, ro);xlabel(x); ylabel(y); axis(-1 3.5 -1 1),若不取s为参数，直接以x，y做样条函数，曲线不光滑。,xi=-1:1/100:3

39、.5; yi=spline(xx,yy,xi); plot(xi,yi,xx,yy, ro),x=0, 0.0155, 0.1485, 0.3493, 0.6480, 1.0547, 2.0; y=0, 0.1242, 0.3654, 0.4975, 0.5472, 0.4781, 0;,n=length(x); t=0:n-1;tt=0:.25:n-1; xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt); plot(xx,yy,x,y,o),二维插值是基于与一维插值同样的基本思想。然而，正如名字所隐含的，二维插值是对两变量的函数z=f(x, y) 进行插值。为了说明这个

40、附加的维数，考虑一个问题。设人们对海水的温度分布估计感兴趣，给定的温度值取自海水表面均匀分布的格栅。 采集了下列的数据： width=1:5; % index for width of plate (i.e.,the x-dimension) depth=1:3; % index for depth of plate (i,e,the y-dimension),十一、二维插值,temps=82 81 80 82 84; 79 63 61 65 81; 84 84 82 85 86 % temperature data temps = 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 矩阵temps表示整个海水的温度分布。temps的列与下标depth或y-维相联系，行与下标width或x-维相联系。为了估计在中间点的温度，我们必须对它们进行辨识。,MESHGRID命令 ： 调用格式一 X,Y =meshgrid (x,y) X,Y = meshgrid(-3:.2:3, -3:.2:3); Z =7-3* X.4 .* exp(-X.2 - Y.2), mesh(Z) titl