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1、什么是机械振动?,机械振动的作用和危害(声音、建筑机械.).,机械振动类型和研究意义.,引言,阻尼振动,受迫振动,周期振动,非周期振动,简谐振动,第12章 机械振动,12.1.1 简谐振动,定义: .,特点:,(1)等幅振动,(2)周期振动 .,x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.,研究简谐振动的意义:,12.1 简谐振动,谐振子,1. 受力特点,机械振动的力学特点,线性恢复力,2. 运动微分方程,运动微分方程, ： 固有角频率,3. 速度和加速度,例,应用设计,宇航员秤体重.,解,动态称重,12.1.2 描述谐振动的特征量,1. 振幅 A.,2. 周期T 和频率 v,v = 1/

2、T (Hz),3. 相位,(1) ( t + ) 是 t 时刻的相位.,(2) 是 t =0 时刻的相位 初相.,相位的意义:,相位确定了振动的状态.,相相位每改变 2 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复., t,x,O,A,- A, = 2,相位差,若,若,两振动步调相同,称同相.,两振动步调相反 , 称反相.,（在不同时刻相位差不同）, 超前和落后,若 = 2 - 1 0 ,称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。 ( x2 比 x1 早 达到正的最大),4. 振幅和初相位的确定,注意: 如何确定最后的 .,12.1.3 谐振动旋转矢量表示法, t + ,o,

3、x,x,t,t = 0,v,a,特点:直观方便.,12.1.4 谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),1. 动能,2. 势能,3. 机械能,（简谐振动系统机械能守恒）,E,x,O,A,A,例,如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有相同的速率；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点.,A,B,解,O,x,质点运动的周期和振幅.,求,确定平衡位置和周期. AB的中点为平衡位置； 周期为,T = 42s = 8s,取平衡位置为坐标原点，则,设 t = 0 时，质点位于平衡位置，且向右运动，则振动方程可写为,t = 1 时, 质点位于

4、B点, 所以,12.2 简谐振动的实例分析,主要内容：,1. 单摆,2. 复摆,3. 扭摆,4. 双原子分子内原子的振动,12.2.1 单摆,以小球为研究对象，作受力分析.,设角沿逆时针方向为正.,P 重力, T 绳的拉力.,沿切向方向的分量方程为,（小角度时）,令,结论:,小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.,周期和角频率为：,（牛顿第二定律）,12.2 简谐振动的实例分析,12.2.2 复摆（物理摆）,以物体为研究对象.,设角沿逆时针方向为正,（刚体绕定轴转动定律）,小角度时,令,结论:,小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.,周期和角频率为：,单摆：,简谐振动,简谐振动,谐振子：,动力学微分方

5、程,由初始条件确定振幅和初相位,旋转矢量表示谐振动, t + ,o,x,x,t,t = 0,v,a,复摆（物理摆）,小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.,周期和角频率为：,12.2.3 扭摆,以圆盘为研究对象,在（扭转角）不太大时，,（刚体绕定轴转动定律）,令,结论:,在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.,周期和角频率为：,金属丝,x,y,z,（D为金属丝的扭转系数）,圆盘受到的力矩为,双原子分子,某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以表示为,（其中，r 为原子间的距离，a 和 b 均为正的常数）,证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,证明:,平衡位置,原子偏离平衡位置的位移为,（在平衡位

6、处置幂级数展开）,（对于微小振动，高阶小量可略去）,其中,，为等效劲度系数.,结论:,原子在平衡位置附近的微振动是谐振动.,12.3 谐振动的合成,主要内容：,1. 同方向同频率谐振动的合成,2. 同方向不同频率谐振动的合成 拍,3. 相互垂直谐振动的合成,12.3.1 同方向同频率谐振动的合成,1. 解析法,分振动 :,合振动 :,结论：合振动 x 仍是简谐振动,2. 旋转矢量法,分振动,合振动,结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.,讨论:,(1)若两分振动同相,即 2 1= 2k (k=0,1,2,),(2)若两分振动反相,即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,),当 A

7、1=A2 时, A=0.,则 A=A1+A2 , 两分振动相互加强，,则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱，,当 A1=A2 时 , A=2A1,例,设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一常量的谐振动，它们的振动分别为, ,3. n 个同方向同频率谐振动的合成,求, ,合振动的振动方程.,解,n,a,C,A,R,x,O,P,极大值:,讨论:,极小值:,次极大: ,两个极大值之间有几个极小值？,12.3.2 同方向不同频率谐振动的合成 拍,分振动 :,合振动 :,当 时,A 有最大值:,合振动的振幅,当 时，,A有最小值:,结论：,合振动 x 不再是简谐振动, 合振动振幅

8、的频率为,当 2 1 时 , 2 1 2 + 1 ，令,其中,随 t 缓变,随 t 快变,振幅相同不同频率的简谐振动的合成,合振动 :,分振动 :,结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。,x,x2,x1,t,t,t,拍的现象,拍频 : 单位时间内合振动振幅取最大的次数,即:,拍原理的应用,演示,同方向同频率谐振动的合成,同方向不同频率谐振动的合成 拍,分振动 :,合振动 :,拍频 :,12.3.3 两个相互垂直谐振动的合成 李萨如图,1. 两个同频率相互垂直的谐振动的合成,分振动,合运动轨迹,讨论,当 = 2 1= k 时,当 = ( 2k +1 ) /2 时,x,y,合成 分解, =

9、 0,(第一象限), = /2, = , = 3/2,(第二象限),(第三象限),(第四象限),2. 两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成,分振动,结论：,(1)1、2 之比为整数之比时:,合成运动仍是周期运动,轨迹是稳定的闭合曲线(李萨如图).,(2)1、2 之比为非整数之比时:,合成运动为非周期运动,运动的轨迹为永不闭合的.,李萨如曲线,应用：,测频率 测相位差,两个同频率相互垂直的谐振动的合成,分振动,合运动轨迹,当 = 2 1= k (k为整数)时:,当 = ( 2k +1 ) /2 (k为整数)时:,两个不同频率、相互垂直的谐振动的合成,分振动,1、2 比为整数之比时:合成运动仍是周

10、期运动李萨如图,比为非整数之比时:为非周期运动, 轨迹为永不闭合.,阻尼振动,振动的微分方程,式中，02=k/m , n = /(2 m) ( : 阻尼系数; n : 阻尼常量),小阻尼,大阻尼,（二阶、常系数、线性、齐次微分方程）,临界阻尼,( n2 02 ),X,t,O,X,t,O,大阻尼,临界阻尼,12.4 阻尼振动和受迫振动简介,主要内容：,1. 阻尼振动,2. 受迫振动,12.4.1 阻尼振动,阻尼力,振动的微分方程,式中，02=k/m , n = /(2 m) ( : 阻尼系数; n : 阻尼常量),几种阻尼振动模式（阻尼常量不同）,小阻尼,大阻尼,（二阶、常系数、线性、齐次微分方

11、程）,临界阻尼,3. 临界阻尼( n2 = 02 ),1. 小阻尼 ( n2 02 ),在过阻尼和临界阻尼时无振动.,X,t,O,大阻尼,临界阻尼,X,t,O,2. 大阻尼( n2 02 ),阻尼的应用,问题:三种阻尼运动分类的依据?,12.4.2 受迫振动,受力分析,弹性力,阻尼力,周期性驱动力,受迫振动的微分方程,其解为,（二阶、常系数、线性、非齐次微分方程）,受迫振动微分方程的稳态解为:,下面用旋转矢量叠加的方法求稳态的解振幅和初相（意义）,令( 同时画出 t 时刻对应的矢量图 )：,y ( t ),f,y1 ( t ),y2 ( t ),y3 ( t ),因而：,(将稳态解代入到振动微

12、分方程中有) :,根据 t 时刻的旋转矢量图，得稳态时的振幅和初相：,（1）位移共振(振幅取极值),讨论（ 取不同的值，分析振动情况）,（振幅共振曲线）,共振频率 :,共振振幅 :,结论:受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位差都 与起始条件无关。,（2）速度共振(速度振幅取极值),速度共振时，速度与驱动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,共振频率 :,共振速度振幅 :,（速度共振曲线）,共振的应用和危害,减小共振的影响 ,桥 名：塔科马（Tacoma）海峡大桥（美国华盛顿州） 桥 类 型：悬索桥 跨 度： 853m 垮塌时间：1940年秋的一天（桥建成四个月后）

13、 垮塌情况：在18m/s=64.8km/h的风速下发生了强烈的振动， 振幅越来越大，直至桥面倾斜到45左右，最终 吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而倒塌。,桥 名： 塔科马（Tacoma）海峡大桥 （美国华盛顿州） 1950年 (右边) 2007年 (左边),示教,12.5 非谐振动的傅氏分解 频谱,任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动的叠加,例如:,方波： （基频为v0）,由傅里叶理论，有,x(t),结论：,1.方波可分解为 v0 ，3 v0 ，5 v0 等 谐振动的叠加。,2.谐频的频率越高的其振幅越小。,A,v,v0,3v0,5v0,方波频谱图,7v0,O,O,方波的分解图,v0,

14、3v0,5v0,（基频为v0）,x1+ x3+ x5,方 波,O,O,O,O,O,巨钟的频谱图,0,100,200,300,400,500,v (Hz),（北京大钟寺内的） 永乐大钟（1420年铸成）: 高6.75米，直径 3.3米，重约46.5吨 钟声悠扬悦耳，能传4050公里远。,(五绝） 一绝：铸造年代最久； 二绝：铸成经种最多； 三绝：钟声传播最远； 四绝：力学结构最佳； 五绝：铸造工艺最高。,本章小结,1. 简谐振动方程,2. 简谐振动的相位,( t + ) 是 相位，决定 t 时刻简谐振动的运动状态.,3. 简谐振动的运动微分方程,4. 由初始条件振幅和初相位,5. 弹簧振子的能量

15、,动能：,势能：,总机械能：,平均能量：,6. 谐振动的旋转矢量表示,O,x,7. 简谐谐振动的合成,(1) 同方向同频率谐振动的合成,合振动仍为简谐振动，和振动的振幅取决于两个分振动的振幅及相差，即,(2) 同方向不同频率谐振动的合成,当两个分振动的频率相差较小时，产生拍的现象，拍频为,(3) 相互垂直的两个谐振动的合成,若两个分振动的频率相同，则合振动的轨迹一般为椭圆；若两个分振动的频率为简单整数比，则合振动的轨迹为李萨如图形.,8. 阻尼振动和受迫振动,(1) 阻尼振动,小阻尼 ( n2 2 )情况下，弹簧振子作衰减振动，衰减振动周期比自由振动周期长；,大阻尼( n2 2 )和临界阻尼(

16、 n2 = 2 )情况下，弹簧振子的运动是非周期性的，振子随着时间逐渐返回平衡位置。临界阻尼与大阻尼情况相比，振子能更快地返回到平衡位置.,(2) 受迫振动,在周期性驱动力作用下的振动。稳态时振动的角频率与驱动力的角频率相同；,当驱动力角频率 时，振子振幅具有最大值，发生位移共振；,当驱动力角频率 = 0 时，振子速度振幅具有最大值，系统发生速度共振.,例,如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l ，质量为 m ，竖直部分杆长为 2l ，质量为 2m ，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。,求,杆作微小摆动时的周期。,解,能量的方法,(t 时刻系统的能量),（其它步骤同上）,例,一个质量为m 的小球在一个光滑的半径为 R 的球形碗底作微小振动，如图所示。设 t = 0 时，,小球的速度为,向右运动。试求在振幅很小情况下，小球的振动方程。,解,小球在运动过程中，机械能守恒,以最低点为势能零点，则在t 时刻 小球的机械能为,t = 0 时，, 则有,例,一个质量为m 的小球在一个光滑的半径为 R 的球形碗底作微小振动，如图所示。设 t = 0 时，,小球的速度为,向右运动。试求在振幅很小情况下，小球的振动方程。,解法一 ：,以小球为研究对象，,受力情况,t = 0 时，,有,解法二,小球在运