圆周角定理及其推论.ppt

1、圆周角,一. 复习引入:,1.圆心角的定义?,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.,答:顶点在圆心的角叫圆心角,2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？,如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角.,(4),二、新授,1、导入,圆周角 究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角.同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角. （顶点

2、在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）,(4),圆周角,O,顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.,ABC是圆周角.,2、圆周角定义:,思考：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题,（1）一段弧上所对的圆周角的个数有多少个？ （2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ （3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？,结论:,（1）一段弧上所对的圆周角的个数有无数多个 （2）通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的 （3）通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半,下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的

3、度数的一半”,为了解决这个问题,我们先探究同一段弧所对的圆心角 和圆周角之间有什么关系？,O,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？,类比圆心角探知圆周角,圆周角和圆心角的关系,如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,注意：圆心角与圆周角的位置关系.,（1）首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(ABC)的一边(BC)上时圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

4、,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? （2）当圆心(O)在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? （3）当圆心(O)在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,探究：有关圆周角的度数 （1）探究半圆或直径所对的

5、圆周角等于多少度？（2）的圆周角所对的弦是否是直径？,线段AB是O的直径，点C是O上任意一点（除点A、B）,那么，ACB 就是直径AB 所对的圆周角.想想看，ACB 会是怎么样的角？为什么呢？,证明：,因为OAOBOC，所以AOC、BOC 都是等腰三角形，所以 OACOCA，OBCOCB. 又OACOBCACB180， 所以ACBOCAOCB90. 因此，不管点C在O上何处（除点A、B），ACB总等于90.,结论： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90（直角）.反过来也是成立的，即90的圆周角所对的弦是圆的直径.,圆周角定理,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

6、心角的一半,半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径,推论：,B,C1,O,C2,C3,4、圆周角定理,例1 如图24-38，AB为O的直径，弦CD交AB于点P，ACD=60，ADC=70，求APC的度数.,解 连接BC，则ACB=90， DCB=ACB-ACD=90-60=30. 又 BAD=DCB=30， APC=BAD+ADC=30+70 =100.,如果A=44,则BOC=_. 如果BOC=44,则A=_. 如果A=35,则BDC=_.,如图，点E、F、G、H在圆上， 你会找出几对相等的圆周角？,5、,判断： （1）等弧所对的圆周角相等. （ ） （2）相等的圆周

7、角所对的弧也相等.（ ） （3）90.的角所对的弦是直径. （ ） （4）同弦所对的圆周角相等. （ ）,X,X,X,巩 固 练 习,新授：,一、圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图：,二、圆内接四边形的性质,如图（24.1-15），四边形ABCD是O的内接四边形，O是四边形ABCD的外接圆 . A所对弧为弧BCD,C所对的弧为弧BAD,又弧 BCD与弧BAD所对的圆心角的和是周角， A+C= =180. 同理 B+D=180.,这样，利用圆周角定理，我们得到关于圆内接四边形的一个性质：,圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补.,例2 在圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数之比是2:3:6，求这个四边形各角的度数.,解 设A、B、C的度数分别 等于2x、3x、6x. 四边形ABCD内接于圆， A+C=B+D=180. 2x+6x=180， x=22.5. A=45,