新激光课件第二章光学谐振腔理论02

1、2.4 谐振腔的衍射积分理论,惠_菲原理: 光波波面上每一点可看作次球面子波的波源，下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。,复习,一、菲基衍射积分,图3-1 惠更斯-菲涅耳原理,设波阵面上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点P的光场复振幅 由下列积分式计算：,图3-2 镜面上场分布的计算示意图,二、衍射积分公式在谐振腔中的应用,一般地,La,较小, Ra,三、自再现模应满足的积分方程式,1.自再现模,对对称开腔而言,在腔内渡越一次后,除振幅衰减 和相位滞后外,场的相对分布保持不变的稳定场分布.,2.数学表达式,如果以v (x,y)表示开腔中不受衍

2、射影响的稳态场分布函数,则有,积分方程的核,四、积分方程解的物理意义,1. 积分方程的解,开腔自再现模的积分方程是个本征方程,有多个解.,设 表示其第mn个解， 表示相应的复常数。,2. 本征函数的意义,本征函数一般为复函数，其模描述开腔镜面上 光场振幅分布；辐角则描述相位分布。,3. 本征值的意义,单程损耗就是自再现模在腔内单程渡越所经受的平均 相对功率损耗。在对称开腔的情况下,单程渡越总相移,对称开腔自再现模的谐振条件,平面腔在激光发展史上最先被采用,第一台激光器就 是用平行平面腔做成的。目前,在中等以上功率的固体激 光器和气体激光器中仍常常采用它。平行平面腔的主要 优点是,光束方向性极好

3、、模体积较大、比较容易获得单 横模振荡等。其主要缺点是调整精度要求极高,此外,与 稳定腔比较,损耗也较大,因而对小增益器件不大适用。,2.5 平行平面腔自再现模,迭代法,所谓迭代法,就是利用迭代公式,直接进行数值计算。 首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分布u1,将它代人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场u2,然后再用所得到的场代入，计算在腔内经第二次渡越而在第一镜上生成的场u3。如此反复运算，在对称开腔的情况下,当j足够大时,数值计算得出的uj uj+1uj+2满足,那么uj就是该积分方程的本征函数,一、平行平面腔模式的自再现方程,因为上式对x、y轴对称，,令,二、平行平

4、面腔模式的数值迭代法（略）,2. 对称共焦腔的自再现模,共焦腔：,构成腔的两个球面镜的曲率半径相等且 等于腔长时，两个镜面的焦点重合且位于腔 中心的谐振腔,一、方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解,设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为，并把x，y坐标的原点选在镜面中心而以(x，y)来表示镜面上的任意点，则在近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解,本征值近似解,Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式，其表示式为：,二、 镜面上自再现模场的特征,1.镜面上场的振幅分布,基模：,m=n=0,TEM00是基横模,光斑半径:,场的振幅降落为中心值的1/e时的半径大小,基模总功率:,高阶模：

5、,m、n不同时为0,光斑有效半径:,2.镜面上场的相位分布,由自再现模辐角决定,共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。,3.单程损耗,由图可见单程损耗特点:,共焦腔损耗平面腔损耗,共焦腔各模损耗只与N有关, 与几何尺寸无关,基模,同一N下,衍射损耗随模阶次 的增高迅速增大,共焦腔模与平面腔模在损耗上的这一差别是不难理解的。在共焦腔中,除了衍射引起的光束发散作用以外,还有腔镜(凹面镜)对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔 的损耗的大小。如第一章所已经证明的,对共焦腔和其他稳定球面腔而言,傍轴光线的几何偏折损耗为零,因而腔的损耗具有纯粹衍射损耗的性质。而且,只要N不太小,共焦 腔模就将集中在

6、镜面中心附近,在镜边缘处振幅很小,因而衍射损耗极低。平面腔的情况与此不同,所有与轴线成非零夹角而传播的光都将不可避免地出现几何损耗,而且平面腔模原则上展布在整个镜面上。在菲涅耳数相同的情况下,同一模式在镜边缘处的振幅远比共焦腔模的振幅大,所有这一切都决定了平面腔的损耗应比共焦腔高得多。,(4)单程相移与谐振频率：,共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为,由于径向长椭球函数为实函数,即可得出,为单程附加相移mn,单程相移:,谐振频率：,讨论,共焦腔模在频率上是高度简并的,频率间隔,同横邻纵,同纵邻横,共焦腔横模序数对频率的影响比平面腔大很多!,三、方形镜共焦腔的行波场,腔内的光场可以通过基尔

7、霍夫衍射公式计算由 镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得。腔外的 光场则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的 部分。即行波函数乘以镜面的透射率。这种行波场 叫做厄米-高斯光束。,式中,基模光斑半径,基模腰斑半径,行波场特征,(1)振幅分布,共焦场的振幅分布,对基模,定义在振幅的1/e处的基模光斑尺寸为基模光斑半径(z),可见，共焦场中基模光斑的大小 随着坐标z按双曲线规律变化,0称为高斯光束的 基模腰斑半径,z=0时，(z)最小,z=土L/2=土f时，,0s为共焦腔镜面上的基模光斑半径,(2)模体积,某一模式的模体积描述该模式在腔内所扩展的空间范围。,模体积大,对该模式的振荡有贡献的激发态

8、粒子数 就多,输出功率就大； 模体积小,则对振荡有贡献的激发态粒子就少， 输出功率也就小。,基模,高阶模,(3)等相位面的分布,共焦腔行波场相位分布决定于,与腔的轴线相交于z0点的等相位面的方程为,(x,y,z)= (0,0,z),以z为旋转轴的旋转抛物面,在傍轴区,该等相位面近似为球面,共焦场的等相位面都是凹面 向着腔的中心(z=0)的球面。,a.,b.,共焦腔反射镜面本身 与场的两个等相位面重合,c.,共焦腔中心及距腔中心无限远处的等相位面是与腔轴垂 直的平面。,d.,共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面。,相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入

9、射方 向返回,这样共焦场分布将不会受到扰动。,(4)远场发散角,基模发散角：该发散角(全角)定义为双曲线的两根 渐近线之间的夹角。,高阶模发散角：,高阶模的发散角随模的阶次而增大，因而光束的方向 性将变差。,四、圆形镜共焦腔,当腔的菲涅耳数N时,圆形镜共焦腔的自再现 模为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积:,可见，其基模在镜面上的振幅分布仍是高斯 型的，各高阶横模TEMmn的场分布具有圆对称形式， m表示沿辐角方向的节线数，n表示沿半径方向的节线 园数目，各节线圆沿r方向不是等距的。,2.8一般稳定球面腔的模式特征,一、等价共焦腔,共焦腔,稳定球面腔,稳定球面腔,稳定球面腔,稳定球面腔,等价是指具有 相同的形波场,二、一般稳定球面腔的模式特征,1.光斑半径,假设双凹腔两镜面M1与M2的曲率半径分别为R1和R2，腔长为L，而所要求的等价共焦腔的共焦参数为f。以等价共焦腔中点为z坐标的原点。M1、M2两镜的z坐标为z1和z2。则有：,一般稳定腔行波场的基模光斑半径,式中0为基模腰斑半径,两镜面基模光斑半径,2.模体积,3.单程损耗,(1).有效菲涅耳数,共焦腔菲涅耳数,一般稳定球面腔有效菲涅耳数,查表,平均单 程损耗,4.谐振频率,方形镜,圆形镜,5.基模远场发散角,作 业,1.考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔,波长 =0.5145m,