概率论与数理统计柴中林第4讲

1、,概率论与数理统计 第四讲,显然，有 P(A|B)=P(A).,这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。,1.5.1 两事件的独立,A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，,先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设,1.5 事件的独立性,由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B).,用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。, 不受 P(B)0 或 P(A)0 的制约；, 反映了事件A与 B的对等性。,定义1：若两事件A, B满足 P(AB)=

2、P(A) P(B), 则称 A与B 相互独立，或称 A, B 独立。,两事件独立的定义,例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。,故, P(AB) = P(A)P(B).,解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13,这说明事件A, B独立。,问事件A, B是否独立？,P(AB) = 2/52 = 1/26。,P(B) = 26/52 = 1/2，,前面是根据两事件独立的定义得出A, B独立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办法得到 A, B独立的结论。,续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A= 抽到K , B=抽到黑色的牌。,在实际

3、应用中, 往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立 。,由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立。,如：一批产品共 n 件，从中抽取2件，设 Ai = 第 i 件是合格品， i=1,2。,若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。,其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。,其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。,若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。,请问：如图的两个事件是否独立？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则 A与B不独立。,其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)0,

4、P(B)0, 则 A与B一定不互斥。,而 P(A) 0, P(B) 0。,故 A与B不独立。,我们来计算：,因 P(AB)=0,请问：能否在样本空间中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥?,所以，与独立且互斥。,不难发现: (或)与任何事件都独立。,答：能。,设A, B为互斥事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。,1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,设A, B为独立事件，且P(A)0, P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1.

5、 P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。,= P(A) P(AB),P(A )= P(A A B),A与B独立,概率的性质,= P(A) P(A) P(B),证明: 仅证A与 独立。,= P(A)1 P(B) = P(A)P( ),1.5.2 多个事件的独立,先将两事件独立的定义推广到三个事件上：,四个等式同时成立，则称事件A, B, C相互独立。,推广到 n个事件的独立性定义, 可类似地给出: 设A1, A2, An 是 n个事件，如果对任意k ( ), 任意 ，等式,成立，则称 n个事件A1, A2, ，An 相互

6、独立。,请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,多个相互独立事件具有如下性质：, 若事件A1, A2, , An相互独立，则其中任意 k 个事件 也相互独立；, 若事件A1, A2, , An相互独立，则B1, B2, , Bn也相互独立，其中 Bi 或为Ai ，或为i ， i=1, 2, , n 。,对独立事件，许多概率的计算可得到简化。,例2: 甲乙丙三人同时向一靶子进行射击，他们中靶的概率分别为0.3，0.5和0.4，求靶子被击中的概率。,解：令 Ai分别表示甲乙丙三人击中靶子， i=1,2，3 ，则P(A1A2A3）就表示靶子被

7、击中，于是,1.5.3 独立性概念在计算概率中的应用,P(A1A2A3)= P(A1）+P(A2)+P(A3)- P(A1A2)- P(A1A3)- P(A2A3)+ P(A1A2A3) =0.3+0.5+0.4-0.30.5-0.3 0.4-0.5 0.4+0.3 0.5 0.4=0.79,计算 n个独立事件并的概率公式:,设事件 相互独立, 则,P( A1An ),也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。,例3：验收100件产品方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0

8、.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被接收的概率。,解: 设 A=该批产品被接收， Bi=取出3件产品中恰有i件是次品， i = 0,1,2,3。 则,因三次测试相互独立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全概率公式, 得,设A是某试验的一个随机事件，其发生的概率是p，将试验重复独立的进行n次，试验中只关注A的发生与否。这样的n次重复试验称为n重独立试验序列，也称n重贝努利试验。,在n重贝努利试验中，

9、我们只关心A发生的次数。容易明白，次数可能的取值为0,1,2,n。记A发生k次的概率为Pn(k)，则有,1.5.4 独立实验序列,例4：车间中有10台同类型的机器在工作着，一天中每台机器出故障的概率是0.3.求（1）一天中有3-5台机器发生故障的概率（2）一天中至少有有2台机器发生故障的概率.,解：把观察一台机器一天中是否出故障看作做一次试验。因为各机器性能一样，又没有影响，故观察所有机器相当于做10重贝努利试验，p=0.3.于是 （1） 所求概率为P10(3)+ P10(4)+ P10(5)=C103 0.33 0.77+ C104 0.34 0.76+ C105 0.35 0.750.57

10、. (2) 所求概率为P10(2)+ P10(3)+ P10(10)=1- P10(0)-P10(1)=1-C100 0.30 0.710+ C101 0.31 0.79 0.85.,例5：若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人, 才能以0.99以上的概率击中目标?,解：设至少需要 n 个人才能以0.99以上的概率 击中目标。 令A=目标被击中,Ai =第i人击中目标, i=1,2,n。则A1,A2,An 相互独立。故， 也相互独立。,因 A=A1A2An， 得 P(A)= P(A1A2An),问题化成了求最小的 n, 使1-0.4n 0.99。 解不等式

11、，得,第二章 随机变量,随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布,随机变量概念的产生,在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。,2.1 随机变量,一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结果就是一个数)；,另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关， 但可引进一个变量来表示试验的各种结果。,即, 试验结果可以数值化。, 试验结果与数值有关的例子,1. 掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；,4. 七月份北京的最高气温；,每天北京站下火车的人数；,3. 每年12月份北京发生交 通事故的次数；,5. 一部电梯一年内出现故障的次数。, 试验结果看起来与数值

12、无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例子,在投篮试验中，用0 表示投篮未中，1 表示罚篮命中，3 表示三分线外远投命中，2 表示三分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化。,2. 在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头 的一面朝上，0 表示另一面朝上，则随机 试验的结果也可数值化。,这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学就是定义了一个实值函数 X(), 使任一与一确定的实数X()相对应,.,X,但X() 与高等数学中的函数不同。, X() 随试验结果的不同而取不同的值。故, 在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。, 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “

13、X() 取每个值或某个确定范围内的值” 也有一定的概率。,称这种定义在样本空间上的实值函数 为随机变量，简记为 r.v. ( random variable ) 。,不同之处：,随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等表示。,随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母,等表示。,有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。,引入随机变量的意义,如：用 X 表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。,事件 收到呼叫 X 1；,没有收到呼叫 X=0,收到3至8次呼叫 3X 8,随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律和概率的研究。,随机变量的分类,(通常分两大类)：,如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。,随机变量,离散型随机变量,连续