《高考风向标》2012年高考数学一轮复习 第四章 第2讲 导数在研究函数中的应用精品课件 理

1、第 2 讲 导数在研究函数中的应用 1函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在 某个区间(a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区 间内_；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在这个区间,内_.,单调递增,单调递减,2判别 f(x0)是极大、极小值的方法 若 x0满足 f(x0)0，且在 x0的两侧 f(x)的导数异号，则 x0 是 f(x)的极值点，f(x0)是极值且如果 f(x)在 x0两侧满足“左 正右负”，则 x0是 f(x)的_点，f(x0)是极大值；如果 f(x)在 x0两侧满足“左负右正”，则 x0是 f(x)的_，f(x0

2、)是_,极大值,极小值,极小值,),D,1函数 f(x)x33x21 是减函数的区间为( A(2，) B(，2) C(，0) D(0,2),2函数 f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 时取得极,值，则 a(,),D,A2,B3,C4,D5,3函数 y2x33x212x5 在区间0,3上最大值与最小,值分别(,),A,A5，15,B5，4,C4，15,D5，16,A,解析：yexxex2，斜率 ke0023，所以，y1 3x，即 y3x1.,考点 1,讨论函数的单调性,例 1：设函数 f(x)x33axb(a0) (1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，求

3、a、b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点,y3x1,5曲线 yxex2x1 在点(0,1)处的切线方程为_.,解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值 解析：(1)f(x)3x23a， 曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，,(2)f(x)3(x2a)(a0)， 当 a0 时，f(x)0， 函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极 值点 当 x(， a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增， 当 x( a， a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减， 当 x( a，)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增， 此时 x a是 f(x

4、)的极大值点，x a是 f(x)的极小值点 本题出错最多的就是将(1)中结论 a4 用到(2) 中,【互动探究】 1设函数 f(x)xekx (k0) (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若函数 f(x)在区间(1,1)内单调递增，求 k 的取值范围,考点 2,导数与函数的极值和最大(小)值,例 2：设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时 取得极值 (1)求 a、b 的值； (2)若对于任意的 x0,3，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值 范围,【互动探究】,考点 3,构造函数来证明不等式,例 3：已

5、知函数 f(x)是(0，)上的可导函数，若 xf(x)f(x) 在 x0 时恒成立,(2)求证：当 x10，x20 时，有 f(x1x2)f(x1)f(x2),所以函数 g(x),因为 xf(x)f(x)，所以 g(x)0 在 x0 时恒成立，,f(x) x,在(0，)上是增函数,(2)由(1)知函数 g(x),f(x) x,在(0，)上是增函数，,所以当 x10，x20 时，,两式相加得 f(x1x2)f(x1)f(x2),ln(x1)x.,1,x1,【互动探究】 3已知函数 f(x)ln(x1)x. (1)求函数 f(x)的单调递减区间；,(2)若 x1，证明：1,1 x1,(1)解：函数

6、 f(x)的定义域为(1，)，,f(x),1 x1,x,.,由 f(x)0 及 x1，得 x0. 所以当 x(0，)时，f(x)是减函数， 即 f(x)的单调递减区间是(0，) (2)证明：由(1)知，当 x(1,0)时，f(x)0； 当 x(0，)时，f(x)0. 因此，当 x1 时，f(x)f(0)，即 ln(x1)x0，,1，,.,x1,所以 ln(x1)x.,令 g(x)ln(x1),1 x1,则 g(x),1 1 x1 (x1), 2,x (x1),2,当 x(1,0)时，g(x)0；当 x(0，)时，g(x)0. 所以当 x1 时，g(x)g(0)，,即 ln(x1),1 x1,1

7、0，ln(x1)1,1,.,综上可知，若 x1，则 1,1 x1,ln(x1)x.,错源：f(x0)0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件 例 4：已知函数 f(x)x33mx2nxm2 在 x1 时有极值 0，则 m_，n_.,误解分析：对 f(x)为极值的充要条件理解不清，导致出现多 解 正解：f(x)3x26mxn， 由题意，f(1)36mn0， f(1)13mnm20，,即 x1 不是 f(x)的极值点，应舍去 故 m2，n9.,纠错反思：f(x)=0 是 f(x0)为极值的必要但不充分条件,判断 x0不是极值点需要检查 x0侧 f(x)的符号.如果左正右负，那么 f(x0) 是函

8、数 f(x)的一个极大值；如果左负右正，那么 f(x0)是函数 f(x) 的一个极小值；如果符号相同，那么 f(x0)不是函数 f(x)的极值. 此题就没有讨论在两种情况下，f(-1)是不是为极值.本题说明用 导数求函数极值时一定要判断某函数值是不是极值，要检验相 关区间内导数的符号.,【互动探究】 4设 f(x)是函数 f(x)的导函数，yf(x)的图像如图 4,),C,21，则 yf(x)的图像最有可能的是( 图 421,解析：由导函数的图像知，导函数在 x0 和 x2 时的导 函数值为 0，故原来的函数 yf(x)在 x0 和 x2 时取得极值 当 x0 或 x2 时，导函数值为正(或

9、0)，当 0 x2 时，导函 数值为负，所以当 x0 或 x2 时函数 yf(x)为增函数，当 0 x2 时，函数 yf(x)为减函数，故选项为 C.,(1)证明 a0；,(2)若 za2b，求 z 的取值范围,解析：f(x)ax22bx2b. (1)由函数 f(x)在 xx1 处取得极大值，在 xx2处取得极小 值，知 x1、x2是 f(x)0 的两个根 所以 f(x)a(xx1)(xx2) 当 x0， 由 xx10. (2)在题设下，0x11x22 等价于,图 422,1求函数的极值的步骤：,(1)确定函数的定义区间，求导数 f(x) (2)求方程 f(x)0 的根,(3)用函数的导数为

10、0 的点，顺次将函数的定义区间分成若 干小开区间，并列成表格检查 f(x)在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x) 在这个根处无极值,2求函数最值的步骤：,(1)求出 f(x)在(a，b)上的极值 (2)求出端点函数值 f(a)、f(b),(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值,1(2010 年佛山调研)已知函数 f(x)x2axblnx(x0，实,数 a、b 为常数),(1)若 a1，b1，求函数 f(x)的极值； (2)若 ab2，讨论函数 f(x)的单调性,(1)求函数 f(x)为奇函数的充要条件；,(2)若任取 a0,4，b0,3，求函数 f(x)在 R 上是增函数,的概率,所以 f(x)为奇函数,故 f(x)为奇函数的充要条件是 a1.