高中数学选修2-2反证法.ppt

1、直接证明与间接证明,反证法,直接证明：,(1)综合法,(2)分析法,由因导果,执果索因,古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦得没法吃。,路边苦李,小故事,小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”,王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”,例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”,您能对小华的判断说出理由吗？,

2、如果昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的， 这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下 雨是正确的。,定义:,在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法。,反证法,发生在身边的例子:,妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!,上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?,他是如何推断该命题的正确性的?,小芳全家没外出旅游.,小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学

3、校碰到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小芳全家没外出旅游,证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60.,引例,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个 不小于60,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个 不小于60,证明：,假设 的三个内角A，B，C都小于60，, A+B+C180,反证法的一般步骤：,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （

4、3）自相矛盾。,适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现 （2）结论以“至多-，” ，“至少-”形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （4） 结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。,常见否定用语,是不是 有没有 等不等 成立不成立 都是不都是，即至少有一个不是 都有不都有，即至少有一个没有 都不是 部分或全部是，即至少有一个是 唯一 至少有两个 至少有一个有（是）全部没有（不是） 至少有一个不全部都,反馈练习,假设互补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,2、“已知: ABC中,AB=AC.求证:B180.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以B90. (3)假设B9

5、0.(4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180.这四个步骤正确的顺序应是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1),反馈练习,C,例1.用反证法证明： 如果ab0，那么,例2.求证： 是无理数。,总结提炼,1.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设 归谬 结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,推理,合情推理 演绎推理 （归纳、类比） （三段论）,证明,直接证明 间接证明 （分析法、综合法） （反证法

6、）,数学公理化思想,备选,1、平面内有四个点，没有三点共线，求证：以任意三个点为顶点 的三角形不可能都是锐角三角形,证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。,(1)如果点D在 之内，根据假设，,都为锐角三角形,所以,这与一个周角为360矛盾。,演练反馈,1、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形,(1)如果点D在 之外，根据假设，,都是锐角三角形，即,这与四边形内角和矛盾。,所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。,即这些三角形不可能都为锐角三角形。,用反证法证明：圆的两

7、条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例 1,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,连结 AD、BD、BC、AC,因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ADBC是平行四边形,所以,因为 ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以，对角线AB、CD均为直径，,这与已知条件矛盾，即假设不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.,例 1,由于P点一定不是圆心O，连结OP

8、，根据垂径定理的推论，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，即假设不成立,证法二,OPAB，OPCD，,2. 已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,备选,【探究2】 已知 a 0 ,关于 x 的方程 a x = b 有解吗？,【探究1】将9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有5个球 一 定是同色的。正确吗？,反 证 法,解唯一吗？,【例1】给定实数 设函数 求证：经过函数图像上任 意两个不同点的直线 不平行于x轴。,【方法总结】 推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。,例4已知0a3，函数f(x

9、)x3ax在区间1，)上是增函数，设当x01，f(x0)1时，f(f(x0)x0，求证：f(x0)x0. 分析要求证明存在某个对象具有某种特殊性质，而我们又无法具体地指出这个对象来，如本例，此时应考虑用反证法来解决,证明假设f(x0)x0，则必有f(x0)x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上为增函数，则f(f(x0)f(x0)， 又f(f(x0)x0，x0f(x0)，与假设矛盾， 若x0f(x0)1，则f(x0)f(f(x0)， 又f(f(x0)x0，f(x0)x0也与假设矛盾 综上所述，当x01，f(x0)1且f(f(x0)x0时有f(x0)x0.,已知p3q32，求证：pq2. 证明假设pq2，那么p2q， p3(2q)3812q