材料力学3扭转.ppt

1、第三章 扭 转,第三章 扭 转,3.1 扭转的概念和实例,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3 纯剪切,3.4 圆轴扭转时的应力,3.5 圆轴扭转时的变形,汽车传动轴,3.1 扭转的概念和实例,汽车方向盘转轴,3.1 扭转的概念和实例,在垂直于杆轴的两个平面内，受到一对大小相等,方向相反的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,扭转轴受力特点：,3.1 扭转的概念和实例,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,扭转轴的变形特点:,2.任意两个横截面绕轴线产生相对转动，相对转过的角度为相对扭转角。（扭转角 ）,1.杆的母线变为一斜直线。,直接

2、计算,1.外力偶矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,使杆件产生扭转变形的外力偶，称为扭力矩。,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,功率、转速与扭力矩之间关系：,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,若P的单位为千瓦,若P的单位为马力,2.扭矩和扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力 T,T = Me,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,截面法求扭矩时一律设为

3、正扭矩！,扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,解:,(1)计算外力偶矩,例题3.1,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率 PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.,由公式,(2)计算扭矩（设正法）,(3) 扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,D,一、实验：,1.实验前：,画纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,3

4、.3 纯剪切,2.实验后变形特征,圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。（横截面可看作刚性圆片） 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有小矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。,3.3 纯剪切,横截面上各点无正应力 横截面上各点必有切应力 ，其方向垂直于半径，指向与该截面的扭矩转向一致，切应力 沿壁厚方向近似认为均匀分布。,结论,T,3.3 纯剪切,二、薄壁圆筒切应力 大小：,A：平均半径所作圆的面积。,3.3 纯剪切,单元体：边长微小的直角六面体。,左右面为横截面,上下面为纵向截面,前后面为自由表面,分析受力（用应力表示）,若平衡，上下面必有与x轴平行的切应力。

5、,左右面（横截面）：,( tdydz),dx,平衡,上下面：,(tdxdz ),dy,三、切应力互等定理,3.3 纯剪切,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,切应力互等定理：,纯剪切,在其两对相互垂直的截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切,3.3 纯剪切,试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。,例题,3.3 纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量 称为切应变。,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，这个关系

6、称为剪切胡克定律。,G 剪切弹性模量(GN/m2),各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：,四、 剪切应变能,单元体外力作功,应变能密度,横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(问题的几何方面),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力-应变关系,(问题的物理方面),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(问题的静力学方面),3.4 圆轴扭转时的应力,3.4 圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,观察变形：,2.纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。,圆轴扭转的平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径

7、仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。,1.圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；,3.4 圆轴扭转时的应力,扭转角（rad）,dx微段两截面的 相对扭转角,边缘上a点的错动距离：,边缘上a点的切应变：, 发生在垂直于半径的平面内。,3.4 圆轴扭转时的应力,距圆心为的圆周上e点的错动距离：,距圆心为处的切应变：,也发生在垂直于 半径的平面内。,扭转角 沿x轴的变化率。,3.4 圆轴扭转时的应力,2.物理关系,根据剪切胡克定律,距圆心为 处的切应力：,垂直于半径,横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。,纵向截面上的切应力：,横截面上的切应力分布图：

8、,圆轴扭转时，横截面上的切应力与点到圆心距离成正比，圆心处切应力为零，边缘切应力最大；同一圆上切应力相等；切应力垂直半径。,3.4 圆轴扭转时的应力,横截面上的切应力分布图：,3.4 圆轴扭转时的应力,3.静力关系,3.4 圆轴扭转时的应力,公式适用于： 1）圆杆 2）,在圆截面边缘上，有最大切应力,横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。,实心轴,3.4 圆轴扭转时的应力,与 的计算,空心轴,令,则,3.4 圆轴扭转时的应力,3.4 圆轴扭转时的应力,实心轴与空心轴 与 对比,思考：对于空心圆截面， ,其原因是什么？,低碳钢扭转试验开始,低

9、碳钢扭转试验结束,塑性材料：首先发生屈服，在试样表面出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。,扭转失效,低碳钢扭转破坏断口,铸铁扭转破坏试验过程,铸铁扭转破坏断口,脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。,扭转极限应力,扭转许用切应力,强度条件,3.4 圆轴扭转时的应力,扭转强度条件：,1. 等截面圆轴：,2. 阶梯形圆轴：,3.4 圆轴扭转时的应力,强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,3.4 圆轴扭转时的应力,例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此轴的强度。

10、,解：（1）计算抗扭截面模量,cm3,（2） 强度校核,满足强度要求,3.4 圆轴扭转时的应力,例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有,3.4 圆轴扭转时的应力,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。,实心轴和空心轴横截面面积为,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,P1=14kW, P2= P3

11、= P1/2=7 kW,n1=n2= 120r/min,解：1、计算各轴的功率与转速,2、计算各轴的扭矩,例题3.4,3.4 圆轴扭转时的应力,求:各轴横截面上的最大切应力； 并校核各轴强度。,已知：输入功率P114kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm.=30MPa。.,T1=M1=1114 N m,T2=M2=557 N m,T3=M3=185.7 N m,3、计算各轴的横截面上的 最大切应力；校核各轴 强度,3.4 圆轴扭转时的应力,满足强度要求。,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭

12、转角(相对角位移) j 来度量。,3.5 圆轴扭转时的变形,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为,抗扭刚度,3.5 圆轴扭转时的变形,对于阶梯轴或各段 、 不同时有,代入正负号,单位长度扭转角,扭转刚度条件,3.5 圆轴扭转时的变形,许用单位扭转角,rad/m,/m,刚度条件公式,注意：单位：N-m,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知T 、D 和，校核强度,已知T 和，设计截面,已知D

13、 和，确定许可载荷,已知T 、D 和/，校核刚度,已知T 和/，设计截面,已知D 和/，确定许可载荷,3.5 圆轴扭转时的变形,例题3.6,3.5 圆轴扭转时的变形,某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角/=1 /m。试校核轴的强度和刚度。,传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,解：,1.外力偶矩,