高等数学 §2.1 导数与微分.ppt

1、1,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家Fermat在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,2,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。,3,导数和

2、微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。,重点,导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,4,引例,导数的定义,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系,求导举例,小结 思考题 作业,2.1 导数的概念,(derivative),第二章 导数与微分,5,例,直线运动的瞬时速度问题,一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的,试确定t0时的瞬时速度v(t0).,

3、这段时间内的平均速度,等于质点在每个时刻的速度.,解,若运动是匀速的,平均速度就,一、引例,关系,质点走过的路程,自由落体运动,6,此式既是它的定义式,又指明了它的计算,它越近似的,定义为,并称之为t0时的瞬时速度v(t0).,瞬时速度是路程对时间的变化率.,若运动是非匀速的,平均速度,是这段,时间内运动快慢的平均值,越小,表明 t0 时运动的快慢.,因此, 人们把 t0时的速度,注,方法,7,例,割线的极限位置,对于一般曲线如何定义其切线呢?,曲线的切线斜率问题,若已知平面曲线,如何作过,的切线呢.,初等数学中并没有给出曲线切线的定义.,过该点的切线.,我们知道与圆周有唯一交点的直线,即为圆

4、周,但此定义不适应其它曲线.,如,与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.,切线位置.,?,曲线上点,法国,数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法,P.de Fermat 1601-1665,从而圆满地解决了这个问题.,8,割线的极限位置切线位置,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,处切线的斜率.,已知曲线的方程,确定点,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,极限位置即,C在点M处的切线.,如图,19,割线MN的斜率为,切线MT的斜率为,20,就其实际意义来说各不相同,关系上确有如下的共性:,但在数量,1. 在问题提法上,都是已知一个函数,求y关于x在x0处的变化

5、率.,2. 计算方法上,(1) 当y随 x均匀变化时,用除法.,(2) 当变化是非均匀的时,需作平均变化率的,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,极限运算:,21,定义,函数,与自,平均变化率.,二、导数的定义,22,中的任何一个表示,存在,如,平均变化率的极限:,或,函数在一点 处的变化率,(derivative),或有导数.,可用下列记号,则称此极限值为,23,处不可导或导数不存在.,特别当(1)式的极限为,有时也说在x0处导数是正(负)无,要注意,导数定义可以写成多种形式:,当极限(1)式不存在时,就说函数 f (x)在x0,在利用导数的定义证题或计算时,正(负)无穷时,穷大,但这

6、时导数不存在.,24,关于导数的说明,或,如果 x0= 0,可以写成,特别是,(1) 点导数是因变量在点x0处的变化率,它反映了,因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.,(2) 如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可,导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导.,25,记作,即,或,(3) 对于任一,都对应着 f (x)的一个确定的,导数值.,这个函数叫做原来函数f (x)的,导函数.,26,例,用导数表示下列极限,解,解,27,原式,是否可按下述方法作:,设,存在, 求极限,解: 原式,练习,28,右导数,4. 单侧导数,左导数,又分别可以解释为曲线,点的左切线的斜率与右切

7、线的斜率.,从几何上,(left derivative),(right derivative),29,例 求函数f(x)=|x|在x=0处的导数,因为f -(0) f +(0),解,所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导,单侧导数,30,定理,31,处的可导性.,此性质常用于判定分段函数在,分段点,如果,在开区间,内可导,都存在,32,例,解,三、求导举例(几个基本初等函数的导数),步 骤,即,33,例,解,即,同理可得,自己练习,34,例,解,更一般地,如,即,35,例,解,即,36,例,解,即,37,1.几何意义,特别地:,即,四、导数的几何意义与物理意义,38,39,例,解,得切线斜率

8、为,所求切线方程为,法线方程为,由导数的几何意义,即,即,40,练习,设切点的横坐标为x0,解,于是所求切线的方程可设为,已知点(0 4)在切线上 所以,解之得x04,于是所求切线的方程为,则切线的斜率为,41,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,路程对时间的导数为物体的瞬时速度;,电量对时间的导数为电流强度;,为物体的线(面,体)密度.,变速直线运动,交流电路,非均匀的物体,质量对长度(面积,体积)的导数,42,该点必连续.,证,定理,如果函数,则函数在,五、可导与连续的关系,在点x处可导,即,函数极限与无穷小的关系,所以,43,如,该定理的逆定理不一定成立.,注,连续是可导的必要条件

9、,不是可导的充分条件.,44,例,解,45,连续但不可导的函数,这是因为函数在点x=0处导数为无穷大,46,练习,为了使 f(x) 在x0处可导,解,首先函数必须在x0处连续.,由于,故应有,又因,应如何选取a,b ?,47,从而,当,f(x) 在x0处可导.,48,导数的实质: 增量比的极限;,导数的几何意义: 切线的斜率;,函数可导一定连续，但连续不一定可导;,求导数最基本的方法: 由定义求导数.,判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,六、小结,49,思考题,50,思考题解答,51,练习题,存在 , 则,2. 已知,则,1. 设,3. 设,存在,

10、 且,求,问a 取何值时,在,都存在 , 并求出,4. 设,52,解: 因为,3. 设,存在, 且,求,所以,53,问a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,4. 设,54,作业,习题2-1(85页),6. 7. 11. 14. 15. 17. 18.,55,Newton(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,