概率论与数理统计柴中林第18讲

1、,概率论与数理统计 第十八讲,从前面两节的讨论中可以看到: 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断采用哪一种估计为好的问题。 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大 似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题。 估计量的优良性准则就是：评价一个估计量“好”与“坏”的标准。,7.3 估计量的优良性准则,设总体的分布参数为，,对一切可能的 成立,则称 为 的无偏估计。,7.3.1 无偏性,对于样本 X1,X2,Xn的不同取值， 取不同的值 )。,如果 的均值等于，即,简记为 是 的一个估计(注意! 它是一个统计量，是随机变量。,参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低，但是

2、平均来说它等于。 “一切可能的 ”是指：在参数估计问题中，参数 一切可能的取值。 我们之所以要求对一切可能的 都成立， 是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数 的真实取值。自然要求它在参数 的一切可能取值的范围内都成立,说明：无偏性的意义是：用估计量 估计,例1：设 X1, X2, , Xn 为抽自均值为 的总体X的随机样本，考虑 的如下几个估计量：,例如：若 指的是正态总体N( , 2)的均值,则其一切可能取值范围是(-,)。若 指的是方差2，则其一切可能取值范围是(0,)。,定理1：设总体 X 的均值为,方差为2, X1,X2,Xn 为来自总体 X 的随机样本，记 与 分别为样本均值与

3、样本方差，即,即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估计。,证明：因为 X1, X2, , Xn 独立同分布，且 E(Xi )= , 所以,另一方面，因,于是，有,注意到,前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法分别求得了正态总体 N( , 2) 中参数 2 的估计,均为,很显然，它不是 2 的无偏估计。这正是我们为什么要将其分母修正为 n-1，获得样本方差 S2来估计 2 的理由。,例2：求证：样本标准差 S 不是总体标准差 的无偏估计。,证明：因 E(S2)= 2， 所以，Var(S)+E(S)2 = 2， 由 Var(S)0，知 E(S)2 = 2 - Var(S) 2.

4、所以，E(S) . 故，S 不是 的无偏估计。,用估计量 估计，估计误差,II. 均方误差准则,是随机变量，通常用其均值衡量估计误差的大小。 要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其为均方误差，记成 ，即,哪个估计的均方误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。,注意：均方误差可分解成两部分:,证明：,上式表明，均方误差由两部分构成：第一部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏差的平方和。,注意：如果一个估计量是无偏的，则第二部分是零，则有:,如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估计的方差小，哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准

5、则称为方差准则。,例3：设 X1, X2, , Xn 为抽自均值为 的总体,考虑 的如下两个估计的优劣：,我们看到: 显然两个估计都是 的无偏估计。计算二者的方差：,这表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好。,前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值 (即实轴上点) 来估计未知参数。,7.4 正态总体的区间估计(一),其优点是：可直地告诉人们 “未知参数大致是多少”；,缺点是：并未反映出估计的误差范围 (精度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。,而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处 。,例如：在估计正态总体均值 的问题中,若根据一组实际样本，得到 的

6、极大似然估计为 10.12。,一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数 的可靠度 (也称置信系数)。,实际上， 的真值可能大于10.12，也可能小于10.12。,也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数 。,这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用 表示,置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0.95或0.99，即,根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间 ，使,为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上 分位点的概念。,书末附有2分布、t 分布、F分布的上侧分位数表可供使用。需要注意的地方在教材上均有说明

7、。,现在回到寻找置信区间问题上来。,7.4.1 置信区间的定义,定义1：,实际应用上，一般取 = 0.05 或 0.01。,7.4.2 正态总体参数的区间估计,根据基本定理 (见定理6.4.1) ，知,也可简记为,于是， 的置信区间为,例1: 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度 测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求: 的置信系数为0.95的区间估计。,解：n = 6， = 0.05，z/2 = z0.025 = 1.96，2=0.22 .,所求置信区间为,当方差未知时，取, 的区间估计,于是， 的置信系数为1- 的区间估计为,也可简记为, 2 的区间估计,例2：为估计一物体的重量，将其称量10次,得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N( , 2)。求 的置信系数为0.95的置信区间。,解: n=10, =0.05, t9 (0.025)=2.2622,例3(续例2): 求2的