正余弦定理教案

1、正弦定理和余弦定理 安勤辉一. 教学目标：1知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点： 正弦、余弦定理应用以及公式的变形2. 难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A b2a2c22accos B c2a2b22

2、abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin Ccos A；cos B；cos C2.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aabsin Cacsin B.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半径)问题1：在ABC中，a，b，A60求c及BC问题2在ABC中,c=6 A=30 B=120求a b及C问题3在ABC中，a5，c4，cos A，则b通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边

3、，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】 (1)(2013湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于 ()A. B. C. D.(2)(2014杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45，则sin C_.解析(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin Asin Bsin B，B为ABC的内角，sin B0.s

4、in A.又ABC为锐角三角形，A，A.(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B132825，即b5.所以sin C.答案(1)A(2)【训练1】 (1)在ABC中，a2，c2，A60，则C()A30 B45 C45或135 D60(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则AA30 B60 C120 D150解析(1)由正弦定理，得，解得：sin C，又ca，所以C60，所以C45.(2)sin C2sin B，由正弦定理，得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30.答案(1)B(2)A规律方法 已知两角和一边，该三角形是确

5、定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【例2】 (2014临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos B，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC为等边三角形规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响课堂小结1在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，