高一数学教案：3.1等差数列等差数列的性质

1、课 题： 3.1 教学目的：等差数列等差数列的性质1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n 项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便教学过程：一、复习引入首先回忆一下上节课所学主要内容：1等差数列： 一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与

2、它前一项的差等于同一个常数，即 an an 1 =d ，（ n 2，n n），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）2等差数列的通项公式：ana1(n 1)d anam(n m) d或an=pn+q (p 、 q 是常数 )(3有几种方法可以计算公差dan a1an am d= an an 1 d= n 1 d= n m二、讲解新课：问题：如果在 a 与 b 中间插入一个数a，使 a ， a， b 成等差数列数列，那么a 应满足什么条件？ab由定义得 a- a = b -aa2，即：aba2，则 a- a = b -a反之，若aab2a, b,由此可可得：成

3、等差数列ab也就是说， a=2是 a,a,b 成等差数列的充要条件定义：若 a ， a， b 成等差数列，那么a 叫做 a 与 b 的等差中项不 ，在一个等差数列中，从第 2 起，每一 （有 数列的末 除外）都是它的前一 与后一 的等差中 如数列： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13中5 是 3 和 7 的等差中 ， 1 和 9 的等差中 9 是 7 和 11 的等差中 ， 5 和 13 的等差中 看来， a2a4a1a5 , a4a6a3a7性 ：在等差数列中，若m+n=p+q ， ， amanapaq即 m+n=p+qamana paq(m, n, p, q n )但通常 由 am

4、ana paq推不出 m+n=p+q， amanam n三、例 解例 1 在等差数列 an中，若a1+a6=9,a4=7, 求a3a9.,分析： 要求一个数列的某 ，通常情况下是先求其通 公式，而要求通 公式，必 知道 个数列中的至少一 和公差，或者知道 个数列的任意两 （知道任意两 就知道公差），本 中，只已知一 ，和另一个双 关系式，想到从 双 关系式入手解： an 是等差数列a1a6=a4a3=9a3=9a4=9 7=2+ d= a4 a3 =7 2=5 a9 = a4 +(9 4)d=7+5*5=32 a3 =2, a9 =32例 2等差数列an中，a1a3+a5= 12, 且a1a3

5、a5=80. 求通 an+分析：要求通 ，仍然是先求公差和其中至少一 的 而已知两个条件均是三 复合关系式，欲求某 必 消元（ ）或再弄一个等式出来解：a1+a5=2a3a1a3a512 3a312 a34a1a520a1a3a580a1 a58a1 = 10,a5 =2或 a1 =2,a5 =10a5a1 d=51 d=3 或 3 an = 10+3 (n 1) = 3n 13 或 an =2 3 (n1) = 3n+5例 3 在等差数列 an中 , 已知a3a4a5a6a7 450,求a2a8及前 9项和s9.解：由等差中项公式：a3 a7 2 a5 ，a4 a6 2 a5由条件a3 a

6、4 a5 a6 a7 450, 得5 a5 450, a5 90, a2 a8 2 a5 180.s9 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ( a1 a9 ) ( a 2 a8 ) ( a3 a7 )( a4 a6 ) a5 9 a5 810.abc例 4 已知 a、 b、 c 的倒数成等差数列，求证：b c a ， cab ， a b c的倒数也成等差数列分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z 成等差数列的充要条件： x+y=2z证明：因为 a、 b、 c 的倒数成等差数列211 bac ，即 2ac=b(a+c)bcaa bcc(bc) a(ab

7、)又a+c=ac-2c 2a2b(ac)c 2a22ac=ac-2=ac-2(ac) 22(ac) 2= ac -2= b( a c) -22(ac)2(cab)=b-2=babc所以 bca ， cab ， ab c 的倒数也成等差数列四、练习：1.在等差数列an中，已知 a510 ， a1231 ，求首项 a1 与公差 da5a14d10(1)解：由 意可知a12a111d31(2)a12解之得d3 即 个数列的首 是-2，公差是 3或由 意可得：a12a5(125) d 即： 31=10+7d可求得 d=3，再由 a5a14d 求得 1=-22. 在等差数列an中 , 若a56a815求

8、a14解： a8a5(85)d即 1563d d3从而 a14a5(145)d693333. 在 等 差 数 列 an中 若a1a2a530 ， a6 a7a10 80 ， 求a11 a12a15解： 6+6=11+17+7=12+2 2a6a1a112a7a2a12 (a11a12a15 ) + (a1a2a5 )2 (a6a7a10 ) a11a12a15 =2 ( a6a7a10 ) (a1a2a5 )=2 80 30=130五、小 本 学 了以下内容：aa ba,b,21成等差数列2在等差数列中，m+n=p+qamana paq(m, n, p, qn )六、 后作 ：1.在等差数列a

9、n中， d 公差，若 m, n, p, qn且 m np q求 ： 1aman a p aq2a paq( p q)d 明： 1 首 a1 ，amana1(m 1)d a1(n 1)d 2a1( m n 2)da paqa1( p 1)d a1(q 1)d 2a1( p q 2) d m n p q amana paq2 a pa1( p1)daq( p q)d a1 (q 1)d ( p q)d a1( p 1) da paq( pq)d2.在等差数列an 中， 若 a5aa10 b求 a15解： 2a10a5a15 即 2baa15 a152ba3.在等差数列an中，若 a3a8m 求 a5 a6解： a5a6 = a3a8m4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数解：设四个数为 a3d ,a d, ad, a3d