高一数学教案：正弦定理、余弦定理(4)

1、课题：正弦定理、余弦定理（4）教学目的：1 进一步熟悉正、余弦定理内容；2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点 : 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2 引导学生总结三角恒等式的

2、证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：abc正弦定理： sin asin b2rsin c余弦定理： a 2b 2c22bc cos a,cos ab2c2a 22bcb2c 2a 22ca cos b,cos bc 2a2b 22caa 2b 2c 2c 2a2b22ab cosc ，cosc2ab二、讲解范例：例 1 在任一 abc中求证：a(sin bsin c )b(sin csin a) c(sin a sin b)0证：左边 = 2rsin a(sinb sinc) 2rsinb(sincsin a)2rsinc(sin a sin b

3、)= 2rsin asin bsin asincsinbsincsin bsin a sinc sin asinc sinb =0=右边例 2在 abc中，已知 a3 ， b2 ，b=45求 a、 c 及 ca sin b3 sin 453sin a解一：由正弦定理得：b22第 1页共 7页b=45 90即 ba a=60 或 120当 a=60 时 c=75当 a=120 时 c=15b sin c2 sin 7562csin 452sin bb sin c2 sin 1562csin 452sin b解二：设 c=x 由余弦定理b2a 2c22ac cos b将已知条件代入，整理：x 26

4、x10x622解之：c622当时b2c2a 22 ( 6 22 ) 2313cos a2bc622(31)2222从而 a=60， c=75c622时同理可求得： a=120，c=15当例 3在 abc中， bc=a, ac=b, a, b 是方程 x 223x20 的两个根，且2cos(a+b)=1求（ 1）角 c 的度数（ 2）ab 的长度（ 3） abc的面积1解：（ 1） cosc=cos(a+b)=cos(a+b)=2c=120ab2 3ab2（2）由题设：ab2=ac2+bc2 2ac?bc?osc a 2b 22ab cos120a2b2ab (ab)2ab(2 3) 2210即

5、 ab= 101 ab sin c1 ab sin1201 233（3） s abc=22222例 4如图，在四边形abcd 中，已知 ad cd, ad=10,ab=14,第 2页共 7页bda=60 ,bcd=135求 bc的长解：在 abd 中，设 bd=x则 ba2bd 2ad 22bd ad cosbda即 14 2x 210 22 10xcos60整理得： x 210x960解之： x116x26 （舍去）由余弦定理：bcbdbc16sin 3082sincdbsinbcdsin 135例 5 abc中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1 求最大角 ;2 求以此最大角为内角，

6、夹此角两边之和为4 的平行四边形的最大面积解： 1设三边 ak1,bk, ck1kn且 k1cosca2b2c2k402ac2( k1)c 为钝角解得 1k 4 kn k2 或 3但 k2 时不能构成三角形应舍去a2, b3, c4, cosc1109当 k3时,c42 设夹 c 角的两边为 x, yxy4xy sin cx(4x)1515(x24x)s44当 x2 时 s 最大 =15例 6 在 abc中， ab 5， ac3 ，d 为 bc中点，且 ad 4，求 bc 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设bc为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理

7、在建立方程时所发挥的作用因为 d 为 bcx中点，所以bd、dc可表示为2 ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程x解：设 bc 边为，则由d 为 bc中点，可得bd dc 2 ，第 3页共 7页2x22ad 2bd 2ab 24 ( 2)5,2ad bdx24在 adb 中， cosadb2ad2dc2ac242( x )2322x.2 ad dc24在 adc中， cosadc2又 adb adc 180 cosadb cos（180 adc） cosadc42( x ) 25242( x ) 2322224x24 x22解得， 2, 所以， bc 边长为 2评述：此题要启发学生

8、注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sina，思路如下：abbd5由三角形内角平分线性质可得acdc3 ，设 bd5 ，dc 3，则由互补角 adc、adb 的余弦值互为相反数建立方程，求出bc 后，再结合余弦定理求出cosa，再由同角平方关系求出 sina三、课堂练习：1 半径为1 的圆内接三角形的面积为0 25，求此三角形三边长的乘积1解：设 abc三边为 a， b， c 则 abcacsin b2s abcac sin bsin b abc2abc2bb2r又 sin b，其

9、中 r 为三角形外接圆半径s abc1 abc4r , abc4rs abc4 1 0 251所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：abc2rsin asin bsin c，其中 r 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式第 4页共 7页1 acsin b abc 2发生联系，对abc 进行整体求解2 在 abc 中，已知角b45， d 是 bc 边上一点， ad5， ac7， dc 3，求ab解：在 adc中，ac 2dc 2ad 272325211 ,cosc2ac dc273145 3又 0 c 180， sinc 14acab在 abc

10、中， sin bsin csin c ac5 32 75 6 .ab sin b142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用353 在 abc 中，已知 cosa 5 ， sinb 13 ，求 cosc 的值32解： cosa 5 2 cos45， 0 a4 45 a 90, sina 55 1 sinb 13 2 sin30， 0 b 0 b 30或 150 b180若 b 150，则 b a 180与题意不符120 b 30cosb 133124516cos（ a b） cosa cosbsina sinb 51351365又 c18

11、0（ a b）16cosc cos 180（ ab） cos（ a b） 65第 5页共 7页评述： 此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围， 以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结通过本节学习， 我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、 余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记及备用资料：1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：s

12、in2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题， 简捷明快， 下面举例说明之例 1在 abc中，已知 sin2b sin2c sin2a3 sinasinc，求 b 的度数解：由定理得sin2b sin2asin2c 2sinasinccosb， 2sinasinccosb 3 sinasinc3sinasinc 0 cos 2b150 例 2求 sin210 cos240 sin10 cos40的值解：原式 sin210 sin250 sin10 sin50在 sin2a sin2b sin2c 2sinbsinccosa中，

13、令 b10， c 50，则 a 120sin2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos12033sin210 sin250 sin10 sin50（ 2） 2 4例 3在 abc中，已知 2cosbsinc sina，试判定 abc 的形状解：在原等式两边同乘以 sina 得： 2cosbsinasinc sin2a，由定理得 sin2a sin2c sin2 sin2a， sin2c sin2b b c故 abc是等腰三角形2 一题多证例 4在 abc中已知 a 2bcosc，求证： abc为等腰三角形证法一：欲证 abc为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，b sin a使只剩含角的三角函数由正弦定理得a sin bbsin a 2bcosc sin b ，即 2cosc sinb sina sin（ b c） sinbcosc cosbsinc sinbcosc cosbsinc 0第 6页共 7页即 sin（ bc） 0， b c（）b、 c 是三角形的内角， b c，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有 a