高二数学教案：7.5曲线和方程(三)

1、课题： 7.5 曲线和方程（三）教学目的：1会根据已知条件，求一些较复杂的曲线方程王新敞2.提高学生分析问题、解决问题的能力.3.渗透数形结合思想 .教学重点：找出所求曲线上任意一点m ( x, y) 的横坐标x 与纵坐标y 之间的关系式f ( x, y)0 王新敞教学难点： 点随点动型的轨迹方程的求法（相关点法）王新敞授课类型： 新授课 王新敞课时安排： 1 课时 王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程 ：一、复习引入：求简单的曲线方程的一般步骤：（ 1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点m 的坐标；（ 2）写出适合条件p 的点 m 的集合；（ 3）用坐标表示条件p（ m

2、），列出方程f (x, y) 0 ;（ 4）化方程 f ( x, y)0 为最简形式；（ 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞二、讲解新课：求简单的曲线方程的一般 步骤（ 5）可以省略不写， 如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程王新敞三、讲解范例：例 1已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到a（0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程王新敞分析：这条曲线是到a 点的距离与其到x 轴的距离的差是2 的点的集合或轨迹的一部分王新敞解：设点m ( x, y)是曲线上任意一点， x 轴，垂足是，那么

3、点属于集合= mbbmp m - =2 王新敞mamb即x2( y2) 2y =2王新敞整理得x 2( y 2)2( y 2) 2 , y1 x 2 王新敞8因为曲线在 x 轴的上方，所以 y 0，虽然原点o 的坐标（ 0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是：y1x2( x 0)王新敞8它的图形是关于y 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点王新敞例 2在 abc中，已知顶点 a(1，1)，b(3，6)且 abc的面积等于3，求顶点 c 的轨迹第 1页共 4页方程 王新敞解 ： 设 顶 点 c 的 坐 标 为 (x, y) , 作 c h ab 于 h ， 则 动 点 c

4、属 于 集 合 p= c 12abch3 ，615 kab王新敞3125 ( x直线 ab 的方程是 y11) ,即 5x 2 y 30 .2y5x 2y 35x 2 y 3b6 2) 2c52(29hab(31)2(61) 22915x2 y331a29o13x229化简，得5x2 y -3 =6, 即 5x 2 y -9=0或 5x 2 y+3=0, 这就是所求顶点c 的轨迹方程 .点评：顶点 c 的轨迹方程，就是定直线ab的距离等于629的动点的轨迹方程王新敞29例 3已知 abc， a( 2,0), b(0,2) ，第三个顶点 c 在曲线 y3x 21上移动，求的重心的轨迹方程abc王

5、新敞解：设 abc的重心为 g ( x, y) ，顶点 c 的坐标为 ( x1 , y1 ) ，由重心坐标公式得x20 x1 , y0 2 y133x13x2代入y13 21得 3 y 2 3(3x 2)21y13 y 2x1y212x 3 ，即为所求轨迹方程9x王新敞说明：在这个问题中，动点c 与点 g 之间有关系，写出c 与 g 之间的坐标关系，并用g 的坐标表示 c 的坐标，而后代入 c 的坐标所满足的关系式化简整理即得所求, 这种方法叫相关点法王新敞四、课堂练习：1. 在 abc中， b、c的坐标分别是（ 0，0）和（ 4，0）， ab边上中线的长为 3，求顶点a的轨迹方程 王新敞分析

6、：依题意画出草图，然后设a 点坐标为 ( x, y) ，从而可用x, y 表示出 ab的中点 d的坐标，然后按照求曲线方程的步骤进行求解王新敞第 2页共 4页解：设 a 点的坐标为 ( x, y) ，则 ab的中点 d的坐标为（ x , y 2 2) 王新敞由题意可得 cd =3即( x4) 2( y ) 2322整理得 ( x8) 2y236 a、 b、 c三点要构成三角形，不能落在 x 轴上，点 、 、三点不共线，即点aa的纵坐标y 0王新敞ab c所求顶点 a 的轨迹方程为：(x 8) 2y 236 ( y 0)结合学生所做讲评， 并强调要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，要结

7、合实际意义王新敞2已知定点 a（ 4， 0）和圆 x 2y24 上的动点 b，点 p 分 ab 之比为2 1，求点 p的轨迹方程王新敞分析：设点 p( x, y) ， b( x0 , y0 )，由ap=2，找出 x, y 与 x0 , y0 的关系王新敞pb利用已知曲线方程消去x0 , y0 ，得到 x, y 的关系 (这种方法叫 相关点法 )王新敞解：设动点 p( x, y) 及圆上点 b ( x0 , y0 ) 王新敞yapbp =2,pb42x03x 4x2x0122 y03yy2y012o2 a(4,0) x代入圆的方程 x2y 24 ，得 ( 3x4) 2 9 y 24王新敞24即

8、(x4 )2y 21639所求轨迹方程为：( x42y216)王新敞393m (a, b)任作一直线，分别交x 轴、y轴于a bab过不在坐标轴上的定点、 ，求线段中点 p 的轨迹方程 王新敞解法一：设线段 ab 的中点为p (x, y) ,作 mc y 轴，pd y 轴，垂足分别为c、d，则：cm= a ，oc= b ， dp= x ， od=db= y 王新敞第 3页共 4页 mcpd, mbc pbd cmcbybdpdbp(x,y)d即 a2 y b （ x 0,y0)cxyo故所求轨迹方程为： 2xy bx ay0 王新敞m(a,b)ax解法二：设点a（ m ,0),b(0, n )则线段 ab 的中点 p( x, y) 的坐标满足 m2x, n2y 王新敞 b、m 、a 共线， k makmb， amb0 ，得 mn bm an0 王新敞0anb由 m 2x, n2 y ，得 2xybxay 0 王新敞解法三：设线段 ab 的中点为p ( x, y) ，过点 m ( a, b) 的直线方程为：ybk( x a), ( k0) 王新敞则 a( a - b ,0),b(0, bak )，中点 p 的坐标为：kabkx