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1、第一章 振动 第二章 波动,振动与波动,振 动,1 简谐振动(运动学部分),2 简谐振动(动力学部分),3 阻尼振动,4 受迫振动和共振,5 简谐振动的合成,*6 谐振分析,第一章 振 动 (Vibration),引 言,振动有各种不同的形式,机械振动 电磁振动 ,广义振动：任一物理量(如位移、电 流等),振动分类,受迫振动,自由振动,阻尼自由振动,无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动,(简谐振动),无阻尼自由谐振动,在某一数值附近反复变化。,1 简谐振动,一. 简谐振动,二. 描述简谐振动的特征量,三. 简谐振动的描述方法,四. 相位差,五.简谐振动的速度、加速度,1 简谐振动,一. 简谐振动

2、,表达式,x(t)=Acos( t+),特点,(1)等幅振动,(2)周期振动 x(t)=x(t+T ),(运动学部分),二. 描述简谐振动的特征量,1. 振幅 A,2. 周期T 和频率 v, = 1/T (Hz),3. 相位,(1) ( t + )是 t 时刻的相位,(2) 是t =0时刻的相位 初相,三. 简谐振动的描述方法,1. 解析法,由 x=Acos( t+ ),已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式,2. 曲线法,o,A,-A,t,x, = /2,T,已知曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线,3.旋转矢量法, t+,o,x,x,t = t,t = 0,x = A cos( t +

3、 ),四. 相位差, =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1),对两同频率的谐振动 = 2- 1,初相差,同相和反相,当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同,称同相,当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反 , 称反相 。,领先、落后以 的相位角来判断,超前和落后,若 = 2- 10,则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前,(或x1比x2落后),例如 = 2- 1=(3/2),不说x2比x1超前(3/2),而说 = 2- 1=(3/2)-2= -(1/2),x2比x1落后(1/2),五.简谐振动的速度、加速度,1.速度,速度也是简谐振动

4、,比x领先/2,2.加速度,也是简谐振动,解析式,总结：,解析式,简谐振动的概念和表示方法：,振动曲线,旋转矢量法,定，研究振动合成很方便,如：,简谐振动(动力学部分),一.简谐振动的动力学方程,二.简谐振动的能量,三.简谐振动的动力学解法,简谐振动(动力学部分),一.简谐振动的动力学方程,1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx),2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例),3. 固有(圆)频率,弹簧振子:,单 摆 :,固有频率决定于系统内在性质,4. 由初始条件求振幅和相位,(2) 势能,情况同动能。,(3) 机械能,简谐振动系统机械能守恒,二.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),1.

5、简谐振动系统的能量特点,(1) 动能,x,t,T,E,Ep,Ek,(1/2)kA2,2. 由起始能量求振幅,三.简谐振动的动力学解法,1.由分析受力出发,(由牛顿定律列方程),2. 由分析能量出发,(将能量守恒式对t求导),o,例1:右方表示某简谐这振动的 x-t图,试用作图方法画出t1、t2时刻的旋转矢量的位置。,例3:一质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.12m,周期T=2s,当t=0时,质点对平衡位置的位移xo=0.06m,此时刻质点向x正向运动,求: (1)此简谐运动的表达式; (2)t=T/4时,质点的位置、速度、加速度; (3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。,解,(1),当

6、t=0时, x=x0=0.06m,简谐运动的表达式为,(2) 当t=T/4时,(3)初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。,例4:在一轻弹簧下端悬挂m0=100g砝码时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（这时t=0）。选x轴向下，求振动方程的数值式。,解,m0=0.1kg,l=8cm, m=0.25kg, v0=-0.21m/s,3 阻尼振动,一. 阻尼,二. 阻尼振动的特点,三. 阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线,阻尼力,1.振动方程,2.振动表达式,3.振动曲线,（阻力 fr = v）

7、,1. 固有频率,2. 三种阻尼,过阻尼：,临界阻尼：,欠阻尼：,和阻尼系数,振幅：,能量：,四. 过阻尼、欠阻尼和临界阻尼,4 受迫振动与共振,一. 受迫振动,1. 系统受力,弹性力 -kx,2. 振动方程,阻尼力,周期性策动力 f =F0cost,其中,3. 稳态解,x=Acos( t+),4. 特点,在外来策动力作用下的振动,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(1)频率: 等于策动力的频率 ,(2)振幅:,(3)初相:,二.共振,在一定条件下, 振幅出现 极大值, 振动剧烈的现象。,(1)共振频率 :,(2)共振振幅 :,若 则 r 0 Ar h/(2 ) 称尖锐共振,1. 位移共振

8、,2.速度共振,一定条件下, 速度幅 A极大的现象。, r= 0 m r=h/2 v r=0,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。, 关于受迫振动要求搞清：,1. 受迫振动：,在驱动力Hcost的作用下系统的振动,稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率,2. 共振：,在弱阻尼即 0的情况下，,系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振。,受迫振动。,应用：,声、光、电、原子内部、工程技术,同时要注意避免共振造成破坏。,当 = 0时，,小号发出的声波足以使酒杯破碎,随后在大风中因产生共振而断塌,我国四川綦江彩虹桥的断裂：,武警跑步（引起共振）,质量太差，,

9、1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动,我国古代对“共振”的认识：,蜀人有铜盘，早、晚鸣如人扣，,公元五世纪天中记：,问张华。,张华曰：此盘与宫中钟相谐，,故声相应，,可改变其薄厚。,一. 同方向同频率的简谐振动的合成,1.分振动 :,x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2),2.合振动 : x = x1+ x2,x =A cos( t+ ),合振动是简谐振动, 其频率仍为,3.两种特 殊情况,(1)若两分振动同相 2 1=2k (k =0,1,2,),则A=A1+A2 , 两分振动相互加强,(2)若两分振动反相 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),则A=

10、|A1-A2|, 两分振动相互减弱,如 A1=A2 , 则 A=0,5 简谐振动的合成,2. 合振动,合振动不是简谐振动,当 2 1时 2- 1 2+ 1,其中,随缓变,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,x = x1+ x2,二. 同方向不同频率的简谐振动的合成,1. 分振动,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,3. 拍：,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|,合振动忽强忽弱的现象,三.垂直方向同频率简谐振动的合成,1.分振动,x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2),2. 合运动,(2) 椭圆的性质 , 在 A1 、A2确定之后, 主要 决定于 = 2- 1,(1) 合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆,四.垂直方向不同频率简谐振动的合成,两分振动频率相差很小, = ( 2- 1) t + ( 2- 1),可看作两频率相等而 2- 1随缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化,轨迹称为李萨如图形, x y=32 2=0, 1=/4,两振动的频率成整数比,6 谐振分析,一. 一个周