第3节 等比数列及其前n项和

1、2021新亮剑高考总复习数列第六章第3节等比数列及其前n项和1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 理解等比数列的概念.2. 掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列有关知识解决相应的问题.4. 了解等比数列与指数函数的关系以下几种形式在考题中出现的频率很高:(1)等比数列基本量的计算;(2)等比数列性质的应用;(3)等比数列的判断与证明;(4)等比数列与等差数列的综合高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、等比数列的有关概

2、念1.等比数列一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比等于 同一常数(不为零),那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的 公比,通常用字母 q 表示,定义的表达式为 +1 =q.2.等比中项如果 a,G,b 成等比数列,那么 G叫作 a 与 b 的等比中项.即 G 是 a 与 b 的等比中项G2=ab(ab0) a,G,b 成等比数列.5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、等比数列的有关公式a1qn-1 1.通项1,1- 2.前 n 项和公式:Sn= 1 (1- ) = 1-( 1-6高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、等比数列的常用性质1.通项公式的推广:an=amqn-m

3、(n,mN*).2aa =a a =2. 若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN ),则 .* mnpq 1 若数列a ,b (项数相同)是等比数列,则依23.a (0),a b , nnnnn然是等比数列.4.在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即qk an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为.7高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录5.若列,其公比为qn 6.(单调性)等比数列an满足 1 递增 1 0,1 0,足或 时,an是 递减 数列. 0 18高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1. 由 an+12. 在运用等比数列的前 n忽略 q=1 这一特

4、殊情形而导致解题出错.9高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1) 满足 an+1=qan(nN*,q 为常数)的数列an为等比数列.(2) G 为 a,b 的等比中项G2=ab.(3) 若an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.()(1-)(4)数列的通项公式是则其前 n 项和为 S =na a =a ,.()nnn1-解析(1)错误,例如 q=0;(2)错误,例如 G=a=0;(3)错误,例如an=(-1)n;(4)错误,例如 a=1.答案解析10目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识

5、【基础自测】1.在等比数列an中,Sn 为其前 n 项和,若 a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 等于().AA.3B.-3C.-1D.1解析两等式相答案解析11目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识2.等比数列an的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=(C).A.1B.-1C.1D.-13399解析设数列an的公比为所以 a5=a1q4=81a1=9,得 a1=1.9答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识3.若数列an满足 a4=27,an+1=-3an(nN*),则 a1=(C).A.1B.3C.-1D.-3解析由题意知数列an是以-3 为

6、公比的等比数列,a4=a1(-3)3=27,a1= 27 =-1.故选 C.(-3)3答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【易错检测】4.等比数列an满足对任意 nN*,2(an+2-an)=3an+1,an+1an,则公比q= 2.解析由又 an+1an, 故 q=2.答案解析14目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识5.数列an是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,数列bn满足 bn=1+a1+a2+an,数列 cn=2+b1+b2+bn.若cn为等比数列,则 a+q= 3.解析等比数列,由题意知 q1.因为数列an是以 a 为首项,q 为公比的 -,所 以 b =1+n1-1-

7、(1- )=2-+(1-+) + +1,所 以 c =2+ 1 + n-n(1-)2(1-)21-1-1-1-=0 且1-+ =0,要使cn为等比数列,则 2-所以 a=1,q=2,则 a+q=3.(1-)21-答案解析1516目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1等比数列基本量的计算 例 1(1)已知等比数列an为递增数列,且2=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列an5的通项公式为 an=2n. (2)在等差数列an中,公差 d0,a2 是 a1 与 a4 的等比中项,已知数列3n+1 a1,a3,1 ,2 , ,是等比数列,则数列kn

8、的通项公式为 kn=.答案答案解析17考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)设数列an的公比为 q,则 2(an+an+2)=5an+12q2-5q+2=0q=2 或 q=1.2由2=a10=a1q90 得 a10,5又数列an为递增数列,所以 q=2.又由2=a10(a1q4)2=a1q9a1=q=2,5所以数列an的通项公式为 an=2n.18考点探究素养达成高考真题目 录(2)设 an=a1+(n-1)d,由题意知2=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),得 d2=a1d.2因为 d0,所以 d=a1,故 an=nd.由已知得 d,3d,k1d,k2d,knd,是等比数列.因

9、为 d0,所以数列 1,3,k1,k2,kn,也是等比数列,且其首项为 1,公比为 q=3,由此得 k1=9,所以数列kn是以 9 为首项,3 为公比的等比数列,所以 kn=93n-1=3n+1.即数列kn的通项公式为 kn=3n+1.19考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：(1)等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及 a1,an,q,n,Sn 五个量,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前 n 项和公式时,注意对 q=1 和 q1 进行分类讨论. 20考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】1.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,a1+a3=

10、5,且 a2+a4=5,则 =().D 24A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1解析设等比数列的公比为 q,5 ,(1 + 2) = 2,1 1由题意得 解得 21 ,5 , =q(1 + 2) =21答案解析41- 1 -1=1 (2 -1),所以 =2n-1.故选 D.111则 a =a 2=,S = n1n1 -1 -121-222 21考点探究素养达成高考真题目 录2.已知 Sn 是各项均a8= 128.解析a2a4=2=16,3a3=4 或 a3=-4(舍去).a3=a1q2=4,S3=7,q1,4)= 2(1+q)(1-q)2(1-S =1=3,2答案解析1-1-3q2

11、-4q-4=0,解得 q=-2(舍去)或 q=2.3a1=1,a8=27=128. 22考点探究素养达成高考真题目 录考点2等比数列的判定与证明考向 1:等比数列的判定例 2已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=k(qn-1)+t(n2-n)(q0 且 q1,tR),则下列说法错误的是(D ).A. 若an是等差数列,则 k=0B. 若an是等比数列,则 t=0 C.若an不是等差数列,则 k0D.若an不是等比数列,则 t0解析答案23考点探究素养达成高考真题目 录解析an=Sn-Sn-1=k(qn-1)+t(n2-n)-k(qn-1-1)-t(n-1)2-(n-1)=k(q-1)q

12、n-1+t(2n-2).对于选项 A,因为an是等差数列,q0 且 q1,所以 k=0;反之,若 k=0,则Sn=t(n2-n),此时 an=t(2n-2),an为等差数列.所以 A,C 均正确. =(-1) -1 +t(2n-2)一定是不为 0 的对于选项 B,因为a 是等比数列,所以n(-1) -2 +t(2n-4) -1常数,所以 t=0;反之,若 t=0,则 an=k(q-1)qn-1,当 k=0 时,an不是等比数列,故 B 正确,D 不正确.故选 D.24考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:等比数列的证明例 3已知数列an满足 a1=1,a2=4,an+2=4an+1-4an.

13、(1) 求证:数列an+1-2an是等比数列.(2) 求数列an的通项公式.解析(1) 由 an+2=4an+1-4an, 得 an+2-2an+1=2an+1-4an=2(an+1-2an)=22(an-2an-1)=2n(a2-2a1)0, +2 -2 +1=2,an+1-2an是等比数列. +1 -2(2)由(1)可得 an+1-2an=2n-1(a2-2a1)=2n, +1 - =1,2 +1 2211是首项为 ,公差为 的等差数列,=,即 an=n2n-1. 解析2222225考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：证明或判断一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法,其他方法只用于选

14、择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.利用递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证. 26考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.在公比 q 为整数的等比数列an中,Sn 是数列an的前 n 项和,若a1+a4=18,a2+a3=12,则下列说法错误的是(A. q=2B. 数列Sn+2是等比数列C.S8=510D.数列lg an是公差为 2 的等差数列D ).解析答案27考点探究素养达成高考真题目 录解3所以1+=1=+21222(1-2)nn+1a =2,a =2 ,S =2-2,1nn1-2 +1+2=2,所以Sn+2是等比数列

15、,B 正确; +2又 lg an+1-lg an=lg +1 =lg 2,所以数列lg an是公差为 lg 2 的等差数列,D 错误.28考点探究素养达成高考真题目 录2.在数列an中,2+2an+1=anan+2+an+an+2, 且 a1=2,a2=5.+1(1) 证明:数列an+1是等比数列.(2) 求数列an的前 n 项和 Sn.解析(1)2+2an+1=anan+2+an+an+2,+1(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1),即 +1 +1= +2 +1. +1 +1 +1a1=2,a2=5,a1+1=3,a2+1=6,2 +1=2,1 +1数列an+1是以 3 为首项,2

16、 为公比的等比数列.(2)由(1)知,an+1=32 n-1,解析答案3(1-2)n-1na =32-1,S =-n=32-n-3.nn1-229考点探究素养达成高考真题目 录考点3等比数列的性质及其应用例 3A.7(1)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=().D B.5C.-5D.-7(2)在等比数列an中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列an+1也是等比数列,则 Sn 等于()C A.2n+1-2D.3n-1B.3nC.2n解析答案30考点探究素养达成高考真题目 录+ 7 = 2,= 4,= -2.(1) 由 44= -2,或解得 4解析 = -8

17、,56 = 477 = 47= - 1 ,33= -2,或 21= 11 = -8.a1+a10=a1(1+q9)=-7.(2)设数列an的公比为 q,则 an=2qn-1,数列an+1也是等比数列,(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)2+2an+1=anan+2+an+an+2+1an+an+2=2an+1an(1+q2-2q)=0q=1, 即 an=2,Sn=2n. 31考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若 m+n=p+q,则 aman=apaq”,可以减少运算量,提高解题速度.(2) 在应用相应

18、性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外解题时要注意设而不求思想的运用.(3) 等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,也成等比数列,公比为 qk(q-1). 32考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】1.已知等比数列an的前 n 项积为 Sn,若 a3a4a8=8,则 S9=(A ).A.512B.256C.81D.16解析所以 S9=a1a2a3a9=(a1故选 A.9解析答案33考点探究素养达成高考真题目 录2.已知各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S10=10,S3

19、0=70,则 S40=(A ).A.150B.140C.130D.120解析在等比数列an中,由 S10=10,S30=70 可知 q-1,所以 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 构成公比为 q10 的等比数列.所以(S20-S10)2=S10( S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),解得 S20=30 或 S20=-20(舍去).所以20 -10 =30-10=2=q10,所以 S40-S30=2(S30-S20)=80,1010解析答案所以 S40=S30+80=150,故选 A.34考点探究素养达成高考真题目 录数算方程思想在等比数列中的应用

20、方程的思想:等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量 a1 和 q,问题可迎刃而解.例在各项均为正数的等比数列an中,公比 q(0,1),若 a3+a5=5,a2a6=4,bn=log2an,12数列bn的前 n 项和为 Sn,则当+取最大值时,n 的值为(D). 12A.8B.9C.17D.89解析答案35考点探究素养达成高考真题目 录3 + 5 = 5,= 4,= 1,3解析由题意可知 a3a5,由等比数列的性质可得 26= 4,解得 = 355 ,35124= 4,= 1,= 16,-11 11解得 a =a qn-1=165-n=2,

21、b =log a =5-n, 1n1n2n =,20 1,2 (4+5-)=9- 2,则数列b 是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列,S =nn22 =9-,数列1 是以 4 为首项,-为公差的等差数列,229- 4+1 +2 + = =2(17-)1172892=- -+,12244216因此当 n=8 或 n=9 时,1 +2 + 取最大值,故选 D.答案12 36考点探究素养达成高考真题目 录【突破训已知an为递增的等比数列,a4D 7A.15D.35B.5C.626解析设数列an的公比为 q,因为 a5a6=6,所以 a4a7=6,又由 a4+a7=5,且 a40),1 (1-4

22、) = 15,=所以由题意得 解得 a1=1,q=2,41-1 4= 312 + 41,所以 a3=4.解析答案38考点探究素养达成高考真题目 录12.(2019 年全国卷)记 S为等比数列a 的前 n 项和若2.a = ,=a ,nn1643121则 S5=. 31(1-35 )121解析因为所以a =1,q=3,所以2=a a ,S =.3262541-33解析答案39考点探究素养达成高考真题目 录3.(2018 年全国卷)记 Sn 为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则S6= -63.解析当 n=1 时,a1=S1=2a1+1,a1=-1.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-1(n2),则 a6