高等数理统计 假设检验.ppt

1、第三章 假设检验,学习目的和要求 学习重点 学习难点 教学方法 授课时数 基本内容,学习目的和要求,目的和要求： 假设检验的基本概念，理解Neyman-Pearson基本思想。在此基础上，掌握一致最优势检验、一致最优势无偏检验的数学方法、掌握多参数指数型分布族的假设检验、似然比检验、U统计量检验和秩检验。,学习重点,1 、 Neyman-Pearson基本思想 2、几种类型的假设检验的基本思想。,学习难点,秩检验,教学方法,讨论,讲授,授课时数,8学时,基本内容,第一节 基本概念 第二节 Neyman-Peason引理 第三节 一致最优势检验 第四节 一致最优势无偏检验 第五节 多参数指数型分

2、布族的假设检验 第六节 似然比检验、U统计量检验、秩检验,什么是假设检验?,在很久以前的一次有各方人士参加的社交聚会中,一位女士为活跃气氛,声称她能区分在熬好的咖啡中，是先加奶还是先放糖。众人不信，于是有爱凑热闹的人弄来8杯加了奶，放了糖的咖啡请该女士鉴别，结果该女士判断正确7杯，错误1杯。,于是很多人都承认该女士的鉴别能力，但是也有一些人却固执地认为该女士既然有鉴别能力，应该都说对，不应该猜错1杯，7对1错的结果完全是瞎蒙出来的。两派人争执不下，正好也出席联欢会的一位统计学者，他认为该问题很有意思，思索良久，写出了推理思路。,假设检验相关概念,定义1、设（，F，P ）为一统计结构，则P的非空

3、子集称为假设，在参数分布族中 时, 的非空子集称为假设。,定义2、在一个假设检验问题中常涉及两个假设。所要检验的问题称为原假设。与原假设不相容的假设称为备择假设。,在参数分布族中,原假设和备择假设分别为：,定义3、在检验问题中，所谓检验法则（或称检验法、或检验）就是设法把样本空间划分成不相交的两个可测集。,W称为检验的拒绝域,定义4、,在参数统计结构中,定义5 称样本值落在拒绝域的概率为检验的势函数，记为,在 时， ， 是检验犯第一类错误的概率。 在 时， ， 是检验犯第二类错误的概率。,定义6 检验的水平,Neyman-Pearson假设检验理论的基本思想，就是使得犯第一类错误的概率在某一个

4、范围内，然后寻找使犯第二类错误的概率尽可能小的检验。,定义7 检验函数,其势函数为,定义8 设 是定义在P上的可测函数， 满足条件 ，则称 为随机化检验函数。,其势函数为,第二节 Neyman-Pearson基本引理,定义（MPT）：在检验问题 中，设 是水平为 的检验，如果对任意一个水平为 的检验 ，都有,则称检验 是水平为 的最优势检验，记为MPT(most powerful test),定理（N-P基本引理）,设 和 是可测空间 上两个不同的概率测度，关于某个 有限的测度 ，有,设原假设和备择假设分别为:,（1）对给定的水平 存在一个检验函数 及常数k,使得,则,（2）满足该条件的检验函

5、数 是水平为 的MPT，反之，如果 是水平为 的MPT，则一定存在常数k,使得 满足上式.,注1,满足该定理条件的检验函数 通常称为似然比检验函数（或称为概率比检验函数）。如,定义似然检验比函数,注2,在似然比函数具有连续分布函数时，MPT检验函数可以取为非随机化的形式,其中k由 确定,若似然比函数为离散型随机变量时，可在集合 实施随机化。MPT函数可取为,例题,设样本是来自正态总体，考虑如下的假设：,在水平为 时，构造似然比统计量,则MPT的拒绝域具有形式,令,即可,此题中若 呢?,例题,设样本来自Poisson分布族,在水平为 时，构造似然比统计量,取统计量,由N-P基本引理，检验函数为,

6、关于简单假设对简单假设的检验问题，N-P基本引理给出了令人满意的解决方案。 在实际问题中，往往出现的是复合假设的情况。,定义（UMPT）：在检验问题 中，设 是水平为 的检验，如果对任意一个水平为 的检验 ，都有,则称检验 是水平为 的一致最优势检验，记为UMPT(uniformly most powerful test),一致最优势检验问题(UMPT),在某些情况下,UMPT可以直接从N-P引理推出,性质1 设 是 检验, 是的 子集,如果 是 的UMPT,则 是 的UMPT。,性质2 设 是 检验，则 是 的UMPT的充要条件是，对每一个 ， 是 的MPT。,性质3 设 是 检验，假设对某

7、个 的 和对某一个 ， 都是 的MPT，则 也是 的UMPT。,如果简单原假设对简单备择假设的检验问题的MPT不依赖于备择假设的具体数值，则可适当扩大备择假设；而当势函数是单调函数时，也可适当扩大原假设。反之，对于复合假设检验问题，MPT的 依赖于备择假设中的 , 则UMPT不一定存在。,对下面几种检验问题进行讨论:,类型III,IV一般无UMPT,所以不讨论。类型I，II类似，V过于复杂，且不实用,所以只讨论类型I即可。,定义：设 是含有实参数 的概率密度族，其中 是实直线上的一个区间。如果存在实值统计量T(X)，使得对任意 ，都有 （1）概率分布 与 是不同的； （2）似然比 是T(x)的

8、单调函数，则称概率密度族 关于T(x)具有单调似然比MLR(montone likelihood ratio)。,如单数指数型分布族,若Q函数是单调函数，则,是T(x)的单调函数,定理：设单参数概率密度族关于实值统计量T(x)具有非降MLR，则对于单边假设检验问题（I），存在水平为a的UMPT检验函数,r由下式确定,同学们请参考例3.5（P189),所以在很多情况下，对于一个复合假设的检验问题，UMPT不存在所以必须找出构造检验法（不管是简单假设还是复合假设）的一般方法 人们提出了似然比检验方法,似然比检验,设X=(X1, X2, , Xn) 的分布密度函数是p(x;),对于简单假设：,检验问

9、题的似然比为：,对于复合假设：,我们可定义,这里， 0和1分别是H0和H1成立时， 的MLE。,P(x;1)是备择假设成立时,观察到样本点x的可能性的一个度量; P(x;0)是原假设成立时,观察到样本点x的可能性的一个度量.在(x)比较大时,备择假设成立观察到样本点x的可能性比较大,因此可拒绝原假设.,故检验的拒绝域可设为:,请同学们参考例题3.14(P220),一般来说,为了更好地确定c的值,要对似然比检验函数的分布形式进行研究,但似然函数一般没有确定的分布形式和分布规则.,1938年,统计学家Wilks研究了似然比统计量的极限分布,并得到了一个重要的定理。,定理3.18(P222),其中，

10、 是参数 的MLE。,原假设成立时,例题3.16(P225),例题,样本 且全部样本独立.要检验假设,记,则,所以大样本似然比检验有否定域,非参数统计结构的假设检验问题,前述各种检验方法基本上适用于参数统计结构，这些方法往往要求总体分布族的密度函数的数学形式已知，且只含有限个未知参数，但有些时候，人们难于由经验或某种理论得到总体的参数统计结构，而只能得到非参数统计结构。因此有必要寻求非参数统计结构的检验方法。,游程检验,检验随机性的一个重要方法。,Bernoulli实验：掷一个硬币，以概率p得正面（记为1)，以概率1-p得反而（记为0)。得到下面的结果: 0000000111111000011

11、1100,称连在一起的0或者1为游程（run），则上面这组数中有3个0游程，2个1游程，总共有5个游程(R=5)。0的总个数m=13,1的总个数为n=10。记总的实验次数为N,N=m+n。,由常识得知，如果这个实验是随机的，则不大可能出出太多的1或0的游程。,原假设成立时，算出 或 的值，也就可以做检验了,在m或n不大时，可直接计算得出。,而当样本很大时，即 时，在零假设下,可以借助于正态分布表得到p值和检验结果，在给定水平a后，可以用下面的近似公式来得到临界值,在实际问题中，不一定都碰到只有0或1所代表的二元数据，但是可以把它转换成二元数据来分析。,例：在工厂的质量管理中，生产出来的20个元

12、件的某一尺寸按顺序为: 12.27,9.92,10.81,11.79,11.87,10.90,11.22 10.80,10.33,9.30,9.81,8.85,9.32,8.67,9.32 9.53,9.58,8.94,7.89,10.77(cm),我们想知道生产出来的尺寸变化是否只是由于随机因素，还是有其它非随机因素。,先找出中位数9.695,把大于中位数的记为1,小于中位数的记为0,于是得到一串1和0 11111111100000000001 此时R=3 m=n=10 P(R=3)=P(R=2)+P(R=3)=0.00011 在给定a水平较小的情况下，如果原假设成立，则R=3的概率很小。,

13、所以原假设不成立，可以说，在生产过程 中有非随机性因素在起作用。,把所有数目转换成0或者1失去了一些信息，但是此方法对于检验随机性来说是一个简单易行的方法。,符号检验法,在有了一个样本之后,要知道它所代表的总体的”中心”在哪里。例如，在对人们的收入进行了抽样之后，就自然要涉及“人均收入”和“中间收入”等概念。这就是统计中的对总体的均值、中位数和众数等位置参数的推断。,假定用总体中位数M来表示中间位置，这意味着样本点取大于M的值的概率与小于M的概率应该相等。如果排除样本点等于M的情况，该概率应就0.5。X为连续型变量时，样本点等于M的概率为零；X若为离散型，一些样本点可能等于M，则在符号检验时，去掉这些点，同时相应减少n的值。 这样M的确是有关总体的中位数（零假设），每一个样本点都以0.5的概率小于M,也以0.5的概率大于M。,大于M的样本点个数S+与小于S-都服从二项分布B(n,0.5)， S+和S-都可以做检验统计量。 取零假设 ，则S+和S-分别是这个差值 大于零（正号）和小于零（负号）的个数，所以此检验称为符号检验（sign te