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文档简介

1、第七章 n元实二次型,二次齐次多项式,f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz,称为实二次型.,其中aij 为实常数.,一、三元二次型及其表示,取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,从而, 2a12xy = a12xy + a21yx ,2a13xz = a13xz + a31zx ,2a23yz = a23yz + a32zy .,f = a11x2 + a12xy + a13xz,+ a21yx + a22y2 + a23yz,+ a31zx + a32zy + a3

2、3z2,= x (a11x + a12y + a13z),+ y (a21x + a22y + a23z),+ z (a31x + a32y + a33z),= XT AX .,称 A 为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.,三元实二 次 型 f,三阶实对称矩阵 A,一一对应,A,X,二、n 元二次型及其矩阵表示,称 n 元实二次齐次式,为 n 元实二次型.,记 aij = aji, 则,记 X = ( x1, x2, , xn)T, A =( aij )nn , 则,f ( x1, x2, , xn) = X TAX ,其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次型的秩., 由于aij = aji , 所以 A T= A , A中 aii 是 xi2 的系数, aij 是交叉项 xixj 系数的一半.,注:,n 元实二次型 f,n 阶实对称矩阵 A,一一对应,定理:n元实二次型XTAX可经坐标变换X=CY(C为可逆实矩阵)化为二次型YTBY,其中B=CTAC,定义:对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使,P TAP = B,因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次型

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