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1、1,第五章 线性方程组,一. 高斯消元法,二. 齐次线性方程组,三. 非齐次线性方程组,2,一. 高斯消元法,设一般线性方程组为,称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组.,3,举例说明消元法具体步骤：,例1：解线性方程组,解：,最后一行有,可知方程组无解。,4,例2：解线性方程组,解：,5,对应的方程组为,即,6,化为行阶 梯形矩阵,7,则以该矩阵为增广矩阵的方程组与原方程组同解。,化为行最 简形矩阵,8,由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况,1) 若 ，则方程组无解。,特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。,9,二. 齐次线性方程组,有解的条

2、件 解的性质 基础解系 解的结构,10,1. 齐次线性方程组有解的条件,定理1：齐次线性方程组 有非零解,定理2：齐次线性方程组 只有零解,11,二. 解的性质,（可推广至有限多个解）,解向量：每一组解都构成一个向量,性质：若 是（2）的解，,则 仍然是（2）的解。,12,3. 基础解系,线性无关；,13,证明分三步:,1. 以某种方法找 个解。,14,注：,(2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。,(3) 基（基础解系）不是唯一的。,称为通解。,4. 解的结构,的通解是,15,例4 : 求下列齐次方程组的通解。,解：,初等行变换,16,行最简形矩阵对应的方程组为,即,17,

3、先求基础解系，再求通解。,由,则通解为,为任意常数）,18,解：,初等行变换,所以只有零解。,19,例5.5,设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是如下齐次线性方程组的解,求的值和|B|,例5.6,设A是一实矩阵，证明,20,化为行阶 梯形矩阵,三. 非齐次性线性方程组,21,化为行最 简形矩阵,22,三. 非齐次性线性方程组,1. 有解的条件,定理3：非齐次线性方程组,有解,2. 解的性质,性质：,23,分析:,3. 解的结构,是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。,24,例6 : 求解非齐次方程组,解：,25,26,令,得,又原方程组对应的齐次方程组的通解是,令,得基础解系,所以原方程组的通解是,为任意常数）,27,例7：,k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解.,解：,法1：,28,29,法2：利用Cramer法则,有无穷多解，,即,当 时，,当 时，即 且 时，方程组有唯一解。,30,所以方程组无解。,31,例,解证,对增广矩阵B进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,32,33,由于原方程组等价

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