线性代数课本课件52

1、1、线性相关性的概念,2、性质,5.2 向量组的线性相关性,3、向量组的秩,4、矩阵的行秩和列秩,问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？,向量b 能由向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,.,问题1齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答 齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解 事实上，可令k1 = k2 = = km = 0 ，则 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0（零向量）,问题1 给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？ 问题2 如果零向量可以由向量组

2、A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？,向量b 能由向量组 A 线性表示,线性方程组 Ax = b 有解,.,问题2齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零,1、线性相关性的概念,定义,则称向量,的数,为同维向量, 若存在不全为零,线性相关, 否则称它们线性无关.,向量组 A：a1, a2, , am 线性相关(无关),m 元齐次线性方程 Ax = 0 有非零解(零解),r(A) m (r(A) = m ),依据前面的分析可得如下重要结论,其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数,注 给定向量组 A，不是线性

3、相关，就是线性无关，两者必居其一; 向量组 A：a1, a2, , am 线性相关，通常是指 m 2 的情形； 对于单个向量，当且仅当是零向量时，线性相关；否则线性无关 两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(对应分量成比例),以上结果，显示了Rn的向量之线性相关性与齐次方程组的解及矩阵秩三者之间的联系.,向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线,n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知r(E)n 即r(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的,例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性,解,向量组a1 a2 am线性无关r

4、(a1 a2 am)m,例 已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性 解 可见 r(a1, a2, a3) = 2 3（向量的个数）， 故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，r(a1, a2) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关,本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次方程组是n n的情形.此时，可计算行列式值的方法来判断线性相关性,即,若行列式不等于零，则线性无关.,故向量组a1, a2, a3线性无关.,若行列式为零，向量组线性相关；,例 已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组 a1, a2 的线性相关性 解,设有x1

5、 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法一 利用定义,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关,把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,证法二 反证法,因为A的列向量组线性无关 所以可推知 Kx0 又因 |K|20 知方程 Kx0 只有零解 x0 所以矩阵B的列向量组b1

6、 b2 b3线性无关,记作 BAK,设 Bx0,以 BAK 代入得 A(Kx)0,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法三 利用矩阵秩,因为A的列向量组线性无关 所以 r(A)3 从而 r(B)3 因此b1 b2 b3线性无关,因为 |K|20 知K可逆,所以 r(B)r(A),把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,记作BAK,例 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,2、线性相关性的性质,不失一般性, 设 ki0,于是,证 必要性.

7、设向量组,一组不全为零的数k1, k2, , ki , , km , 使得,线性相关, 则存在,条件是至少有一个向量可由其余 (m 1) 个向量线性表示.,即 可由其余m 1个向量线性表示.,2、线性相关性的性质,条件是至少有一个向量可由其余 (m 1) 个向量线性表示.,可以由其余向量线性表示, 即,故 线性相关.,证,条件是至少有一个向量可由其余 (m 1) 个向量线性表示.,向量组 A：a1, a2, , am 线性相关,m 元齐次线性方程 Ax = 0 有非零解,r(A) m,为 m 维向量,注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵,推论 对m 阶矩阵A=a1, a2, , a

8、m, r(A) m的充要条件是至少有一列可由其余的列线性表出,则任一向量都不能由其余 m 1个向量线性表示.,向量组 A：a1, a2, , am 线性无关,m 元齐次线性方程 Ax = 0 有零解,r(A) = m,为 m 维向量,定理 若向量组,线性表示, 且表示式唯一.,线性相关, 则向量 可由,线性无关, 而向量,证 由上定理的必要性证明, 可得能由,线性表示,下面证明唯一性.,两式相减, 得,及,定理 若向量组,线性表示, 且表示式唯一.,线性相关, 则向量 可由,线性无关, 而向量,证 唯一性,线性无关, 则,线性表示, 且表示式唯一.,定理 对给定的两组向量a1、 ak; b1、

9、 bs，,若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,已知对每个 aj 有 s 个数c1j、 csj,把 k 个线性表出关系写成矩阵等式, 有,记C=cij这是个 s k 矩阵. 若能证明 r(C)=k,则因 r(C)s 就可推得 ks 了.,使成立 aj= c1j bj+ csjbs , (j=1,k),定理 对给定的两组向量a1、 ak; b1、 bs，,若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,现考虑齐次方程组,其中 x 是 k 1未知数向量.,解，则由齐次方程组的理论

10、必有 r(C)=k .,只有平凡,若证得,已知a1、ak 线性无关，以反证法证明,只有平凡解.,有非平凡解,设,定理 对给定的两组向量a1、 ak; b1、 bs，,若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 ks.,证明,又因 sk 矩阵 C 有 r(C)min(s,k) s,这与a1, , ak线性无关矛盾.,即 r(C)=k.,有平凡解，,从而,线性相关与无关的性质,性质1 设列向量组,也是线性无关的. 通常称向量,为接长向量,线性无关,则,l s 维列向量组,为截短向量.,即 截短向量组线性无关时，原向量组必线性无关; 加长向量组线性相关时，

11、原向量组必线性相关,性质2 若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,即 具有线性相关部分组的任一组向量都线性相关; 一组线性无关向量的任一部分组必线性无关,性质3 m个n维向量组成的向量组 当 nm 时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关,另两个明显成立的常用性质是,性质4 含有零向量的任一向量必是线性相关.,其中,例 试用各种方法说明向量v1， v2 ，v3线性无关,3、向量组的秩,的一个部分组, 它满足,定义 设向量,线性表示, 则称向量组,是向量组 的一个极大线性无关组,注 只含零向

12、量的向量组没有极大无关组.,注 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.,例 设向量组,解,注 一个向量组的极大无关组可以是不唯一的;但不同最大线性无关组的向量个数是确定的.,定义,的极大无关组所含向量,的个数称为向量组的秩.,显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数; 而只含零向量的组其秩为零.,定理 对给定的两组向量a1、 ak; b1、 bs，,若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,k),皆可依后一组向量线性表出，则 k s.,定理 对给定的两组向量a1、 ak; b1、 bs，若前一组,的每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则前,一组的秩r1不超过

13、后一组的秩r2，即 r1 r2,定义 对给定的两组向量, 若前一组的每个向量皆可依后一组向量线性表出, 同时, 后一组的每个向量也可藉前一组向量线性表出, 就称这两组向量等价.,特别, 每组向量均与其最大线性无关组等价.,定理 两组等价向量的秩必相等.,可见r(A)3 故列向量组的最大无关组含3个向量,例 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 其中,解,对A施行初等行变换变为行最简形矩阵,因为,知r(a1 a2 a4)3 故a1 a2 a4线性无关,即为列向量组的一个最大无关组,例 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组 并把不属于最大无关组的列向量

14、用最大无关组线性表示 其中,a1 a2 a4为列向量组的一个最大无关组,解,对A施行初等行变换变为行最简形矩阵,把A的行最简形矩阵记作 B(b1 b2 b3 b4 b5),向量a1 a2 a3 a4 a5之间与向量b1 b2 b3 b4 b5之间有相同的线性关系 现在,b3b1b2,因此 a3a1a2 a54a13a23a4,b54b13b23b4,定义 对,m n 矩阵,a1, , am 的秩为列秩及行秩,分别,分别称列向量组a1, , an及行向量组(不同的行以上标区分),记作rC(A)及rR(A).,4、矩阵的行秩和列秩,例如 矩阵,的行向量组是,是A的行向量组的一个极大无关组,r(A)

15、=3,由,即,例如 矩阵,的行向量组是,得,即行向量组的秩为,一个极大无关组,又由于A的列向量组为,也可以证明 是A的列向量组的一个极大无关组,即列向量组的秩为,由此例可得矩阵A的列秩等于矩阵A的行秩.,定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩,注 r(A)=r,A必有r个线性无关的列向量或行向量，而A的任意一组多于r个的列向量或行向量一定是线性相关的.,A有r阶非零子式存在，而所有高于r阶子式之值必为零；,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0 r(A) min(m, n) r(AT) = r(A) , r(aA) = r(A) 若 A B，则 r(A) = r(B) 若 P、Q 可逆，则 r(PAQ) = r(A) ,矩阵的秩的性质,maxr(A), r(B) r (A, B) r(A)r(B) 特别地，当 B = b 为非零列向量时，有 r(A) r(A,