第5章 基本形体修改

1、第5章基本形体的投影与立体表面交线5.1 平面立体投影、表面取点及切割5.2 曲面立体投影、表面取点及切割5.3 立体与立体相交第5章基本形体的投影与立体表面交线本章学习目标了解基本立体的形成、投影和表面取点；掌握平面切割立体所产生的截交线的性质及投影特点；掌握立体与立体表面相交所产生的相贯线的性质及投影特点。第5章基本形体的投影与立体表面交线本章学习内容基本形体（平面立体和曲面立体）的形成、投影特点和表面取点方法；平面切割立体所产生的截交线的性质及投影特点和作图方法；立体和立体表面相交所产生的相贯线的性质、投影特点和作图方法。第5章基本形体的投影与立体表面交线常见的基本形体平面立体曲面立体5

2、.1平面立体投影、表面取点及切割平面立体：表面都由平面组成的立体，包括棱柱、棱锥。平面立体的表面由若干个多边形平面所围成，绘制平面立体的投影可归结为绘制它 的各表面的投影。一、棱柱的投影及表面取点棱柱通常按它的底面边数命名，如底面边数为三边形，则称为三棱柱。正三棱柱由顶面、底面和三个侧面围成。点击图片播放视频一、棱柱的投影及表面取点1、投影分析六棱柱的上底面和下底面与水平投影面H平行。六棱柱两底面的水平投影反映实形，正面及侧面投影积聚成水平直线。侧面的投影积聚成直线或为类似形。绘图步骤：(1) 绘棱柱的水平投影；(2) 绘底面的投影；(3) 绘顶面及侧面。一、棱柱的投影及表面取点2、表面取点在

3、平面立体表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。例5-1如图所示，已知abn 点M、N在六棱柱表面上，并知点M的水平投影(m)和点N的正面投影n ，求出点M、N的另外两个投影。na1b1mm (m) a(a1)nb(b1)二、棱锥的投影及表面取点棱锥由一个底面和若干侧面组成。侧棱交于有限远的一点锥顶。正四棱锥由正方形的底面和四个相同的等腰三角形的侧面围成。点击图片播放视频二、棱锥的投影及表面取点1、投影分析棱锥底面平行于水平投影面，其正面投影和侧面投影积聚成水平直线。侧面投影积聚成直线或为类似三角形。绘图步骤：(1) 绘底面的水平投影；(2) 绘底面的正面和侧面投影；(3) 绘锥顶及侧面的

4、投影。ssbaca(c)bacsb二、棱锥的投影及表面取点2、表面取点在平面立体表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同。例5-2如图所示，已知点M、N在三棱锥表面上，并知它们的正面投影m 、n ，求出点M、N的另外两个投影。mm(n)n三、平面体切割1、平面与立体的交线截切：用平面与立体相交，截去体的一部分。截平面截平面截交线截交线截交线截面截面截面截平面：切割基本形体的平面；截交线：截平面与形体表面的交线；截面：由截交线围成的平面图形。三、平面体切割1、平面与立体的交线截交线的性质 ：(1) 共有性：是截平面与立体表面的共有线；(2) 封闭性：是封闭的平面多边形。求截交线的方法：(1)(

5、2)棱线法：求各棱线与截平面的交点；表面法：求各表面与截平面的交线。三、平面体切割2、平面与棱柱的交线例5-3如图所示，六棱柱被截切，已知其正面投影，补全其水平投影和侧面投影。6(7”)7”6”作图步骤：(1) 求截切平面与棱线的交点的V面投影；(2) 按一定的顺序连接各个交点的V面投影；(3) 绘制各棱线的V面投影。4(5)5”3”4”2”2(3)11”5371624三、平面体切割3、平面与棱锥的交线例5-4如图所示，三棱锥被一正垂面斜切，已知其正面投影，求水平投影。32作图步骤(1)求截交线顶点的水平投影； (2)依次连接各顶点的水平投影；(3)绘制各棱线的的水平投影。13125.2曲面立

6、体投影、表面取点及切割曲面立体：形体的表面都由曲面或曲面与平面组成的立体，包括圆柱、圆锥、圆球和圆环。一、圆柱的投影及表面取点圆柱由一平行于轴线的母线绕轴线旋转一周形成。圆柱有两个底面和一个回转面。圆柱面的素线都与轴线平行，所有纬圆的直径相同。底面圆柱面素线母线纬圆轴线(a) 圆柱面的形成(b) 圆柱的结构特征(c) 圆柱面的结构特征圆柱的特征点击图片播放视频一、圆柱的投影及表面取点1、投影分析圆圆柱柱的面轴的线轮垂廓直素于线HAA面1、。B圆B柱1将上圆、柱下面底分圆成为可水见平的面前，半水部平分投与影不反可映见实的形后，半其部正分面。和侧面投影轮积廓聚素为线一C直C1线、。DD1 将圆圆柱

7、柱面面分的成水可平见投的影左积半聚部为分圆与，不与可底见圆的的右水半平部投分影。重合，其正面和侧面投影为矩形。一、圆柱的投影及表面取点1、投影分析绘图步骤：(1)绘出圆柱的轴线和圆的对称中心线；(2)绘画出具有积聚性的水平投影（圆）；(3)绘根据投影关系画出正面投影和侧面投影（两个一样大小的长方形）。一、圆柱的投影及表面取点2、表面取点例5-5如图所示，已知点A、B、C在圆柱表面上， 并知它们的正面投影a、b、(c)，求出A、B、C的另外两个投影。a”(c”)b”cab二、圆锥的投影及表面取点圆锥是由一直母线绕与它相交的轴线旋转一周形 成的，具有一个底面和一个回转面（圆锥面）。圆锥面上所有素线

8、相交于锥顶，所有纬圆平行。锥顶圆锥面素线母线纬圆底面轴线(a) 圆锥面的形成点击图片播放视频(b) 圆锥的结构特征圆锥的特征(c) 圆锥面的结构特征二、圆锥的投影及表面取点1、投影分析圆锥面的的轴轮线廓垂素直线S于AH、面S。B将圆圆锥柱底面圆分为成水可见平面的，前水半平部投分影与反不映可见实的 形后，其半正部面分和。侧面投影积聚轮为廓水素平线直SC线、。SD将圆柱圆面锥分面成的可水见平的投左影半部为圆分，与其不正可面见和的侧右面半投部分影为。三角形。二、圆锥的投影及表面取点1、投影分析s s绘图步骤：(1) 绘制轴线和圆的对称中心线的投影 ；(2) 绘制圆锥的水平投影（圆） ；(3) 绘制圆

9、锥的正面和侧面投影（两个一样大小的三角形） 。s二、圆锥的投影及表面取点2、表面取点例5-6如图所示，已知点A在圆锥表面上，并知它的正面投影a，可采用下列两种方法求出点A的水平投影a和侧面投影a” 。ss”a”e”es ae素线法二、圆锥的投影及表面取点2、表面取点例5-6如图所示，已知点ss”A在圆锥表面上，并知它的正面投影a，可采用下列两种方法求出点A的水平投影a和侧面投影a” 。a”sa纬圆法三、圆球的投影及表面取点一圆周绕自身的一直径旋转一周即形成圆球，形成的回转面称为圆球面。平面与球面的交线为 一个圆，称为纬圆。圆母线纬圆轴线圆球的形成点击图片播放视频三、圆球的投影及表面取点1、投影

10、分析轮球廓的素三线个（投圆影周均AECF）平为行圆于，正其立直投径影与面圆，球把的圆球分球为面前直半径球相可等见。，这后三半个球不可圆是见圆；球上三个不同方向的轮廓素纬线圆（的圆投周影A。BCD）平行于水平投影面，把圆球分为上半球可见，下半球不可见；轮廓素线（圆周BEDF）平行于侧立投影面，把圆球分为左半球可见，右半球不可见。三、圆球的投影及表面取点2、表面取点例5-7 已知点A在球面上， 并知它的正面投影a，求出点A的另外两个投影。a”辅助圆法a四、圆柱体切割截交线是截平面与形体表面的交线。按截平面与圆柱轴线的相对位置不同，与圆柱的截交线可以 有三种形式两平行直线、圆和椭圆 。截平面位置平行

11、于圆柱轴线垂直于圆柱轴线倾斜于圆柱轴线截交线直线圆椭圆立体图投影图四、圆柱体切割例5-8如图所示，圆柱被3”3与圆柱轴线倾斜的正垂面截切，已知其正面投影和水平投影，求侧面投影。绘图步骤：(1) 求特殊点：最低点 、最高点 、最前点、最后点；(2) 求一般点：V、VI、VII、VIII；(3) 光滑连接各点； (4)求轮廓素线投影。6(7)7”6”4”2(4)2”5(8)8”5”11”47813562点击播放视频四、圆柱体切割截平面与轴线的不同夹角时，截交线形状的变化趋势 。椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。截平面与圆柱 轴线成45时，投影为圆。45四、圆柱体切割生产实际中的机件

12、，经常有圆柱切割的结构形式，在画这些零件的视图时经常遇有求截交线的问题。(b)开槽点击播放视频(a) 切割圆柱切割与开槽例：空心圆柱被切割，求俯视图。例：空心圆柱被切割，求俯视图。例：空心圆柱被开槽，求俯视图。例：空心圆柱被开槽，求俯视图。分析、比较五、圆锥体切割根据截平面与圆锥轴线的位置不同，截交线有五 种情况圆、直线、双曲线、椭圆和拋物线。垂直于圆锥轴线通过锥顶平行于圆锥轴线截平面位置与圆锥所有素线相交平行于圆锥一条素线截交线圆直线双曲线椭圆抛物线立体图投影图五、圆锥体切割例5-9如图所示，圆锥被面一侧平面截切，求其侧面投影 。绘图步骤：(1) 求特殊点、 ；(2) 求一般点、； (3)光

13、滑连接各点； (4)求轮廓素线投影。1”15”4”4 (5)3”2”2(3)35142素线法五、圆锥体切割例5-10 圆锥被一正垂面截切，完成其水平投影和侧面投影。22”7(8)7”5”8”6”绘图步骤：(1) 求特殊点，最低点、最高点 、最前点、最后点，转向轮廓素线上点、；(2) 求一般点、；(3) 光滑连接各点；(4) 求轮廓素线投影。5(6)3(4)3”4”10”9(10)9”11”41068127593点击播放视频六、圆球体切割平面与圆球的截交线为圆。当截平面平行、垂直、和倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影分别 为直线、圆和椭圆。截平面位置与V面平行与H面平行与V面垂直立体图投影

14、图六、圆球体切割例5-11圆球被一正垂面截切，完成其水平投影和侧面投影。绘图步骤：(1) 截交线的投影为椭圆，投影椭圆上短轴的两个端点、与长轴的两个端点 、 ；(2) 求截交线与轮廓线的交点 、 ；(3)求截交线与轮廓线的交点 、 ；(4) 依次光滑连接各点；(5) 检查并加粗可见轮廓线。点击播放视频六、圆球体切割例5-12半圆球开槽，已知正面投影，求其水平投影和侧面投影。点击播放视频七、复合回转体切割例5-13 画顶尖的投影。分析：顶尖由同轴的圆锥与两个圆柱迭加而成。Q平面平行轴 线切圆锥及两圆柱，其与圆锥相交，得截交线为双曲线，与圆柱相交的截交线为两平行直线。正垂面P与圆柱相交的截交线为椭

15、圆的一部分。 P Q 5.3立体和立体相交物体上经常出现基本立体相交的情形，这种相交也称为相贯，所产生的表面交线称为相贯线。相贯线性质相贯线形状是由参与相贯的形体的形状和位置的变 化决定,具有以下性质：(1) 共有性：相贯线是相交形体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。因此，相贯线的点是形体表面的 共有点和两立体表面的分界点。(2) 封闭性：相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况 下为平面曲线或直线。形体相交有如下三种形式，其中平面体与平面体相交可按照平面截切平面体来分析，不展开讨论。(a) 平面体与平面体相交(b) 平面体与曲面体相交 (c) 曲面体与曲面体相交形体的相贯线一、平面立体与曲面

16、立体相交平面立体与曲面立体相交，所得的相贯线是由若干段平面曲线（或直线段）所组成的空间封闭线 框。相贯线每段平面曲线是平面体上某一棱面与曲面的截交线。两段截交线的交点称为结合点，它是 平面体的棱线与曲面体表面的交点。因此，求平面体与曲面立体表面的交线可以归结为两个基本问题：(1) 求棱线与曲面立体表面的交点；(2) 棱面与曲面立体表面的截交线。7(8) 5(6)10(9)1(2)4(3)28693175 10 4二、平面立体与曲面立体相交例5-14求四棱柱与圆锥的相贯线。作图步骤：(1) 求出四棱柱棱线与圆锥的交点I、II、III、IV；(2) 求出前后两段截交线的最高点V、VI；(3) 求出

17、一般点VII、VIII、IX、X ；(4) 并依次按顺序画出四棱柱侧棱面与圆锥的交线；(5) 检查并加粗轮廓线。一、平面立体与曲面立体相交图a所示为圆柱穿孔，图b所示为圆筒穿孔。都可认 为是平面立体（空心）与曲面立体相贯 。(a) 圆柱穿孔(b) 圆筒穿孔圆柱、圆筒穿孔二、两曲面立体相交两曲面立体相交所得交线的一般性质：(1) 交线是两曲面立体表面的共有线，也是两相交曲面立体的分界线。交线的所有点都是两曲面立体表面 的共有点。(2) 在一般情况下，两曲面立体的交线是闭合空间曲线。(3) 交线的形状取决于两曲面的形状、大小及它们的相对位置。求两曲面立体交线可归结为求两相交立体表面上一系列共有点的

18、问题，而具体的方法有表面取点法和辅助平面法。二、两曲面立体相交1、表面取点法当相交两形体表面中的某一形体表面在某 一投影面有积聚投影时， 其相贯线在该投影面上 的投影也一定与此形体 的投影重合。这样，可将此相贯线投影作为另一相交形体表面上的点进行作图， 以求出其另外的投影。点击播放视频1、表面取点法例5-15求两圆柱的交线。空作间图及步投骤影：分析：(1)两求圆特柱殊轴点线：垂直直接相交求且得同最时高平点行I、于I正I和立最投 影低面点。II因I的而投两影圆；柱轴线分别(2)垂求直一于般水点平，和用侧表立 投面影取面点，法相可贯求线得的V、水平 投VI影的与投竖影放；圆柱的水平投影(3)圆连周

19、线重并合判，别相可贯见线 的性侧；面投影与横放圆柱的侧(4)面检投查影并部加分粗圆轮周廓重合线，。由它们可求出相贯线的正面投影。21”(2”) 4”(5”14533”124531、表面取点法例5-16两圆柱轴线垂直交叉，求它们的相贯线。作图步骤：(1) 求特殊点：点I、II是在正面投影中可见的分界点； 点III、IV是最前和最后点， 点III也是最低点；点V、VI 是最高点；(2) 求一般点：用表面取点法可求得VII、VIII的投影；(3) 连线并判别可见性； (4)检查并加粗轮廓线。1、表面取点法在圆柱上开孔，或两圆柱孔相交，其作图方法完全一样。如图a所示为圆柱与圆孔相贯，图b所示 为圆孔与

20、圆孔相贯，图c所示为圆筒穿孔，内外圆柱面上都有相贯线。(a) 圆柱开圆孔点击播放视频(b) 圆孔与圆孔相交点击播放视频(c) 圆筒开圆孔二、两曲面立体相交2、辅助平面法利用辅助平面法求相 贯线，就是利用辅助平面 与相贯的两曲面立体相交， 各得一截交线，而这两截 交线的交点，就是所求相 贯线上的点。对于投影不具有积聚性的相贯线求解采用辅助平面法。点击播放视频P2、辅助平面法例5-17求圆台与圆球的相贯线 。分析：由于圆锥与圆球的投影均无积聚性， 相贯线的点不能再用表 面取点法求得，须用辅 助平面的方法求取。思路：用一个水平辅助平面切割物体，与圆锥相交为圆，与球相交也为圆，两圆的交点即为相贯线上的

21、点。11”、4”3”5(6)3(4)6”5”22”4621532、辅助平面法例5-17求圆台与圆球的相贯线 。作图步骤：(1) 求特殊点：点I、II是相贯线的最左和最右点，也是最高和最低点，点IIIIV是最前和最后点。(2) 求一般点：相贯线V、VI两点；(3) 依次光滑连接相贯线上各点；(4) 连线并判断可见性，最后完成轮廓线的投影。点击播放视频2、辅助平面法例5-18求圆柱与圆锥的相贯线 。辅助投影面的选择：2、辅助平面法例5-18求圆柱与圆锥的相贯线。作图步骤：(1) 求特殊点：点I、II是相贯线的最高和最低点，点III、IV是最前和最后点，点V、VI 是最右点；(2) 求一般点：相贯线

22、VII、 VIII两点；(3) 依次光滑连接相贯线上各点；11”5(6)5”6”4”8”3”3(4)7(8)2” 7”246821753(4) 连线并判断可见性，最后完成轮廓线的投影。二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化当两圆柱的轴线垂直相交时，其相贯线的形状会随 着两圆柱直径的变化而变化，交线向大圆柱一侧弯。(a)(b)相贯线的变化趋势(一)(c)二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化当两圆柱轴线垂直交叉时，它们的相贯线随着两 圆柱相对位置的变化而变化 。(a)(b)相贯线的变化趋势（二）(c)二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化当两圆柱轴线垂直交叉时，它们的相贯线随着两 圆柱相对位置的变化而变化 。(d)(e)相贯线的变化趋势（二）(f)二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化当两个回转立体的轴线共线（即同轴线）且相交 时，其相贯线是相交两回转面的公共纬圆。(a)(b)同轴线相交的回转体相交(c)二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化相交两回转面同时内切于一圆球面，其相贯线是 两条相交的平面曲线。(a) 两等径圆柱正交(b) 两等径圆柱斜交具有公共内切圆球面的两回转面相交二、两曲面立体相交3、相贯线的形状变化相交两回转面同时内切于一圆球面，其相贯线是 两条相交的平面曲线。(c) 圆柱与圆锥轴线正交(d) 圆柱与圆锥轴线斜交具有公共内切圆球面的两回转面相交三、多个基本体