5第四章平面弯曲2--应力与强度.ppt

1、第四章,平面弯曲2-应力与强度,FQ,M,FQ,M=Mz,纯弯曲梁分析截面上正应力,弯矩M作用产生什么应力?,42 梁横截面上的正应力,纯弯曲：如图CD段。,剪切(横力）弯曲：如图AC段和BD段。,纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零,（1）横线：变形后仍为直线，但转过一角度，并与纵线仍正交。,一.纯弯曲时的正应力,中性层与横截面的交线中性轴z；,（2）纵线：弯成弧线，上部缩短，下部伸长,中间有一层纵线既不伸长，也不缩短中性层。,1变形几何关系,（1）平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲后的纵线正交；,基本假设,（2）单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤压。每一纵向线处于单向受力状态。,变形后中

2、性层的曲率半径。,y任一纵线到中性层的距离。,d1-1和2-2截面的相对转角。,任一条纤维的线应变为：,2.物理关系:,3.静力学关系:,Sz = 0中性轴z通过横截面的形心。,Iyz =0梁发生平面弯曲的条件。,EIz弯曲刚度,说明：,(2)符号：由M与y的符号确定的符号；, 线弹性;,由弯曲变形确定。, z轴为对称时：, z轴为非对称时:,二.纯弯曲理论的推广,例 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。,解：该梁C截面的弯矩最大， Mmax=103

3、=30kNm,矩形截面:,圆形截面, 工字形截面。 选用50C号工字钢,其截面面积为139000mm2。,在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。,结论如下：,4-3 梁横截面上的切应力,1、两点假设:,（1）切应力与横截面的侧边平行,（2）切应力沿截面宽度均匀分布,一矩形截面,由切应力互等定理,2、弯曲切应力公式,y所求点距中性轴的距离。,3、切应力沿截面高度的分布,y=h/2，0,剪切弯曲时，平面假设不再成立,1.符号：,一.纯弯曲时的正应力

4、:,2.,二.纯弯曲理论的推广,三.矩形截面切应力,1、腹板,二、工字形截面梁,对于工字钢截面:Iz/s*zmax可直接查形钢表,其中 面积u 对中性轴的面积矩。,2、翼缘,切应力流：,切应力沿截面像水流一样流动的现象。,工字形截面梁切应力的分析方法同样适用于T字形，槽形，箱形等截面梁。,思考题:试确定图示截面的切应力流,三、圆形截面梁,四、薄壁圆截面梁,例：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力截面上的切应力分布图。,解:,(1) 确定横截面形心的位置.,(2) 计算横截面的惯性矩Iz .,Iz=186.6106mm4,(3) 画剪力、弯矩图.,(4

5、) 计算最大拉应力和最大压应力,由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面上下边缘的距离不相等，故需分别计算B、D截面的最大拉应力和最大压应力，然后比较。, 在B截面上的弯矩为负，故该截面上边缘各点处产生最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。,t max = 4010310010-3/186.610-6=21.4 MPa,c max = 4010318010-3/186.610-6=38.6 MPa, D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：,t max = 22.510318010-3/186.610-6=21.7 MPa,c max = 22.51

6、0310010-3/186.610-6=12.1 MPa,t max = 21.7 MPa， 发生在D截面的下边缘各点处。,c max = 38.6 MPa， 发生在B截面的下边缘各点处。,D截面应力分布：,FQmax=50kN截面上的切应力分布:,例：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并写出应力的表达式。,解：(1)求支座反力:,(2)画FQ 图和M 图,44、梁的强度计算,危险点：,最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。,最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。,危险截面：,最大弯矩截面,最大剪力截面,一、梁的强度计算,1、

7、等截面梁的正应力强度条件为：,注：弯曲容许正应力弯略大于轴向拉压容许正应力轴， 一般可取弯= 轴。,当t c 时，需分别计算tmax和cmax，使 tmax t ， cmax c 。,2、等截面梁的切应力强度条件为:,校核强度；,设计截面；,求容许荷载。,强度计算：,注： 一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算， 不必对切应力作校核。, 特殊情况下，需校核切应力强度。,a. FQ 很大而 M 较小。,c. 木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核顺。,d、题中给定。,例. 如图一简支木梁。已知：t = c = 10 MPa， = 2 MPa。梁截面为矩形，b = 80 mm，求高度。,解：由正

8、应力强度条件确定截面高度，再校核切应力强度。,1按正应力强度条件计算h 。,而,可取 h = 200 mm 。,2切应力强度校核：,故由正应力强度条件所确定的h=200mm能满足切应力强度条件。,例. 一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l=2m, Iz=5493104mm4;若材料为铸铁:t = 30 MPa，c = 90 MPa,=24MPa。试求q的容许值,并校核切应力强度。,解：1画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。,2求 q 。,C截面：,q 12.3kN/m,B截面：,q 9.6 kN/m, 该梁所受q的容许值为：q=9.6kN/m,3、校核切应力,二、提高承载能力的措施,1、选择

9、合理截面形式,即Wz /A 越大越合理。,弯矩M与Wz成正比，,Wz越大越合理,合理截面：是在不增加材料消耗的前提下， 尽可能使得Wz越大越合理。,如设截面高度为h ，,可见，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆截面合理。,选择截面的形式时，还要考虑材料的性能。 塑性：中性轴对称；脆性：中性轴非对称, 且 ；,矩形截面：,工字形截面：,对圆形截面：,2、采用强度较高的材料,一般高强度材料的和较高。,3、采用变截面梁,采用变截面梁，可节省材料及减少自重。,最合理的变截面梁是等强度梁.,max = M(x) / W(x) = ,M(x) = Fx /2,W(x) = b(x)h2 /6,即截

10、面的宽度b (x) 与 x 成正比.,当高度h = 常数时:,由切应力强度条件:,当宽度b = 常数时;,-鱼腹梁,y,4、改善梁的受力状况,可通过调整支座和改变结构来完成。,4、增加梁的支座超静定梁,可减少Mmax。,45 非对称弯曲梁的平面弯曲,平面弯曲(对称弯曲)：梁具有纵向对称平面，外力(力偶）作用在纵向对称面内。,纵向对称面,对称轴,形心主（惯性）轴,形心主惯性平面,开口簿壁截面的弯曲中心,非对称弯曲：梁不具有纵向对称平面或虽具有纵 向对称平面，但外力并不作用在纵 向对称面内。,一、平面弯曲时外力作用的方向,设 z 为中性轴：,又由,C,可见：非对称截面梁发生平面弯曲时，外力作用的平

11、面必须平行于形心主惯性平面。此时，梁的轴线在形心主惯性平面内弯成一条平面曲线。横截面上的另一根形心主轴即为中性轴。,（梁受到平行于y轴的外力作用）,= M,= 0,Mz=AydA,对于无纵向对称面的非对称弯曲梁，如果是纯弯曲，,只要外力偶作用在与形心主惯性平面平行的任意平面内，则梁只发生平面弯曲，而不发生扭转；,如果是横力（剪切）弯曲，即使外力作用在形心主惯性平面内，梁除发生弯曲以外，还会发生扭转。,二.开口薄壁截面的弯曲中心,只有当外力作用在弯心平面内，梁才只发生平面弯曲。,弯心平面：通过弯曲中心与形心主惯性平面 平行的平面。,1,1,e,腹 板:,翼 缘:,(c),弯曲中心：当梁在两个正交

12、的形心主惯性平面内分别产生平面弯曲时，横截面上产生的相应两个剪力作用线的交点，称为弯曲中心。,弯曲中心的确定：截面剪力合力作用点的位置,弯曲中心位置与剪力大小无关，仅与截面形状尺寸有关，如图槽形截面弯曲中心位置：,一些常见开口薄壁截面弯曲中心位置的确定的原则：,1.具有两根对称轴的截面,其交点就是弯曲中心。,2.具有一根对称轴的截面，弯曲中心必定位于对称轴上。,3.如果截面由中心线相交一点的两个狭长矩形所组成，此交点就是弯曲中心。,4.反对称截面，反对称轴交点就是弯曲中心。,确定弯曲中心的位置,思考题:确定图示截面切应力流及弯曲中心的位置.,4-6 梁的极限弯矩和极限荷载法,容许应力法：,或,

13、极限荷载法：以杆件或杆系破坏时的荷载极限荷载为依据, 建立强度条件，进行强度计算。,结构的极限状态与极限荷载：,结构由于塑性变形成为几何可变体系时，则称结构达到了极限状态。,极限荷载：结构进入极限状态时的荷载Fu,材料的屈服模型:,1.刚性理想塑性模型,2. 理想弹(性)塑性模型:,a). s时，材料完全弹性；,b). s时,应力不增加， 应变无限增大；,d). s后卸载，材料仍服从胡克定律。,c). 拉伸和压缩时:st sc, Et=Ec；,一、纯弯曲梁的极限弯矩,1. 弹性理想塑性模型,2. 屈服弯矩,梁顶、底端的应力刚达到屈服极限,3. 极限弯矩,可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展，直至整个截面完全屈服。,弹性,部分塑性,完全塑性,设完全屈服时，受拉面积At，受压面积Ac,可见，有水平对称轴的截面：At=Ac , St=Sc .,极限弯矩,对矩形截面,-塑性弯曲截面系数,-截面形状系数,对于无水平对称轴的截面，中性轴位置随塑性区的 发展而移动,最终：At=Ac,弹性,部分塑性,完全塑性,二、卸载后的残余应力,卸载是按弹性路径进行，故相当于在原状态下加一个反向的弯矩，应力应变关系为线弹性。,对矩形截面梁,或,部分塑性卸载时的残余应力,部分塑性,Mr,卸载,残余应力,或