欧拉平衡微分方程_第1页
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文档简介

1、.,一、欧拉平衡微分方程的推导,如图2.5，在平衡液体中，取一微小六面体，为研究的方便，使其各边分别平行于坐标轴，边长分别为：dx, dy, dz,其形心点为m(x, y, z)，点m的压强为p(x, y, z),图2.5,.,由于六面体各面的形心到点m的距离很小,压强在m点附近的变化可用泰勒级数表示,且可忽略二阶以上的微量,于是：,分析作用于六面体表面的力：,（为简化，只讨论x方向，y，z方向同理可得）,1.表面力：只有静水压力,.,abdc面上的中心点m1（x-dx/2，y，z），其压强为：,abdc面上的中心点m2（x+dx/2，y，z），其压强为：,图2.5,m1,m2,.,单位质量力

2、在各坐标轴方向的分量为：x，y，z，六面体的质量为：,2.质量力f：,.,根据平衡条件fx=0，则有：,除以dxdydz，得：,同理可得：,(2.2),(2.3),.,欧拉平衡微分方程：表明，在静止液体中,静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。,(2.3),.,二、欧拉平衡微分方程的综合形式,将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz，后相加得：,（2.4）综合形式 （压强差公式）,.,（2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分，这个函数是u (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称力势函数。,有力势函数存在的力场，叫势场

3、。,（2.4）,三、质量力的势函数、有势力、等压面,.,当力势函数存在时，有：,所以：,（2.5）,只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态,.,（2.5）,（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的.,等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各点所组成的面。,在等压面上，压强p=常数(const)，于是：,u=常数(const)，所以等压面也是等势面,.,等压面的微分方程：,即：,（2.6）等压面的微分方程,dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零.,由于质量力和位移都不为零，所以在静止液体中质量力与等压面正交。,.,因此，在质量力只有重力时，等

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