巧用面积法 妙解几何题

1、.,巧用面积法 妙解几何题,人教版八年级数学 上册 映山中学 严正霞,.,何谓面积法,在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。,.,温故知新,填空： 1.若abcdef，且abc的面积为25，则def的面积为 。 2.已知ad为abc的中线，则s abd与s acd的大小关系为 。 3.(1)平行四边形abcd的一条对角线ac

2、把它分成两个三角形abc 、adc，则s abc与s adc的大小关系为 。 (2)平行四边形abcd的边ad上有一点e，连结eb、ec，则s ebc与s平行四边形abcd的关系为 。 4.已知直线a b，点m、n为b上两点，点a、b为a上两点，连结am、an、bm、bn，则s amn 与s bmn的大小关系为 。,25,sabd=sacd,sabc=sadc,sabd=1/2s平行四边形abcd,samn=sbmn,.,用面积法解几何问题常用到下列性质：,全等三角形的面积相等； 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分； 三角形的面积等于同底（或

3、等底）等高的平行四边形的面积的一半； 同底（或等底）等高的三角形面积相等。,.,例题讲解,证线段相等 例1.已知：abc中，a为锐角，ab=ac，bdac于d，ceab于e，求证：bd=ce.,分析：此题运用三角形全等可以解决，但考虑到有“高” ，不妨用面积法来试试，可用sabc=1/2abce=1/2acbd来完成。,证明： abc中，bdac于d，ceab于e sabc=1/2abce=1/2acbd 又ab=ac bd=ce,.,变式训练,1.已知：等腰abc中，ab=ac，d为底边bc的中点，deab，dfac，垂足分别为e、f.求证：de=df.,分析：此题用三角形全等可完成，但题中

4、出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接ad，则sabd=sacd，由ab=ac，可得de=df.,.,2.平行四边形abcd中，beac于e，dfac于f，求证：be=df,变式训练,分析：此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，根据s平行四边形abcd=2s abc=2sadc可得证。,.,证线段的和差关系 例2.（1）已知： abc中，ab=ac，p为底边bc上一点，pdab于d，peac于e，bfac于f，求证：pd+pe=bf.,分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接ap，根据s

5、abc=sabp+sacp，结合ab=ac，可得证。,证明： bfac于f s abc=1/2acbf pdab于d，peac于e s abp=1/2abpd， sacp=1/2acpe s abc= s abp+ sacp 1/2acbf=1/2abpd+1/2acpe ab=ac pd+pe=bf,.,（2）若p为 abc的底边bc的延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。,分析：虽然题目条件发生了变化，但思路不变，方法不变，还是用面积法。连接ap，根据sabc=sabp-sacp，结合ab=ac，可得到正确的结论:p

6、d-pe=bf。,证明： bfac于f s abc=1/2acbf pdab于d，peac于e s abp=1/2abpd， sacp=1/2acpe s abc= s abpsacp 1/2acbf=1/2abpd1/2acpe ab=ac pdpe=bf,.,3.（1）已知等边abc内有一点p，pdab，pebc，pfca，垂足分别为d、e、f，又ah为abc的高，求证：pd+pe+pf=ah.,变式训练,分析：考虑到题中出现了三条“垂线段”和一条“高”，可尝试面积法。连结pa、pb、pc，根据sabc=sabp+sbcp+sacp，由ab=bc=ac，可得证pd+pe+pf=ah,.,（

7、2）若p是等边abc外部一点，其他条件不变，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。,分析：此题的条件虽然发生了变化，但是思路、方法不变，还是应用面积法。连结pa、pb、pc，根据sabc=sabp+sacpsbcp，由ab=bc=ac，可得正确结论：pd+pfpe=ah,.,证角相等 例3.点c是线段ab上一点，分别以ac、bc为边在ab同侧作等边acd和等边bce，连接bd、ae交于o点，再连接oc，求证：aoc=boc.,分析：要证aoc=boc，可证点c到ao、bo的距离相等，如此就要过c点作cpae于p，cqbd于q，证cp=cq，可考虑

8、面积法，证acedcb,则有 sace =sdcb 且ae=bd，可得cp=cq。,p,q,证明：过点c作cpae于p，cqbd于q， acd、bce是等边三角形 ac=dc，ec=bc， acd=ecb=60 ace=dcb=120 acedcb sace =sdcb ，ae=bd cp=cq oc平分aob， 即aoc=boc.,.,变式训练,4.在平行四边形abcd的两边ad、cd上各取一点e、f，使af=ce，且af与ce交于点p，连接bp，求证：bp平分apc,分析：要证bp平分apc，可证点b到ap、cp的距离相等，故过b作bgaf于g，bhce于h，连接bf、be。由于af=ce

9、，只要sabf=sbce即可，而sabf=sbce=1/2s平行四边形abcd，所以bg=bh，命题得证。,.,课堂小结,面积法是平面几何中论证线段关系的一种较简单的数学方法； 使用面积法的前提是：题中要有“垂线段”，若没有“垂线段”，则要结合角平分线的性质或判定构造“垂线段”； 使用面积法解题的关键在于：抓住图形之间的面积关系，进而利用面积公式转化为线段关系。,.,课后练习,1.rtabc中，bac=90，ab=3，m为边bc上一点，连接am，若将abm沿直线am翻折后，点b恰好落在边ac的中点b处，那么点m到ac的距离是 。 2. abc中，ab=ac，a=120，bc=6，peab于e，pfac于f，则pe+pf= 。,.,3. abc中，abac，bd和ce分别为ac、ab上的高，求证：bdce. 4.以abc的边ab、ac为边长，在bc的同侧作正方形abef和正方形acgh，连接fh，过点a作adbc于d，延长da交fh于点m，求证：fm=hm.,.,5.设e是abc的角平分线ad上一点，连接eb、ec，过c作cfbe交ab的延长线于f，过b作bgec交ac的延长线于g，求证：bf=c