2 6无穷小的比较

1、第六节无穷小的比较1、无穷小量的阶当x 0时, x, x 2 , sin x, x 2 sin 1 都是无穷小.例如,xx2比3x要快得多;x 2= 0,limx 0 3 xlim sin x = 1,sin x与x大致相同;x比x2要慢得多;xx 0lim x= ,x2x0sin 1x 21xlim x= limsin不存在.不可比.x 2x 0x 0极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不观察各极限定义:设f(x) = o(1),g(x) = o(1),x X0称f(x)比g(x)高阶无穷小, f(x) = o(g(x)f (x)称f(x)比g(X)低阶无穷小.= 如果limxX g(x)

2、A(A 0) f(x)与g(x)为同阶无穷小.1称f(x)与g(x)等价无穷小, 记f(x) g(x)若limf ( x) 不存在, 称f ( x)与g( x)不能比较的无穷小量.g( x)x X例1 :当x 0时, x + 1000 x3与x相比是(C )无穷小.(A)高阶;(B)低阶;(C)等价;(D)同阶.例2 :当x 0时, x sin 1 与x相比是不_能_比_较_的_无穷小xx sin x与x相比是高阶的无穷小例3 : 计算下列极限.(1) lim sin x = 1xx0(2) lim arcsin x = 1xx0(3) limln(1 + x) = 1x- 1x0e x=1(

3、4) limxx0- 1 =xlim a1x ln ax0lim 1 - cos x = 1(5)1 x2x02x 0时1- cos x 1 x22x 0时ax -1 x ln ax 0时ex - 1 xx 0时ln(1 + x) xx 0时arcsinx xx 0时sin x x2、常用等价无穷小:当x 0时,sin x x, arcsin x x,tan x x,arctan x x,ln(1+ x) x,1- cos x 1 x2 ,-1 x,-1 x ln a,exax2(1+ x)a -1 ax.3、等价无穷小替换定理：定理1b与a是等价无穷小 b = a + o(a ).例：lim

4、 sin 5x= lim 5x = 56x6x0 sin 6xx0定理2(1)设a a, b b 且lim b 存在，则alim b= lim b .aa(2)设a a，lim af ( x)存在，则lim af ( x) =x lim0时a,sfin(5xx). 5x, sin6x 6x4、利用等价无穷小计算下列极限:tan2 2x1 - cos x例4求lim.x012当x 0时,1 - cos x 解x,tan2 x 2 x.2(2 x)2原式= lim= 8.1 x2x02求lim tan x - sin x .例5sin3 2 xx0当x 0时,tan x x,sin x x.错解原

5、式= lim x - x= 0.(2 x)3x0解sin 2x 2x,当x 0时,12tan x - sin x = tan x(1 - cos x) 1 x3x,31 .原式= lim 2=16(2 x)3x0等价无穷小量只能在乘除中替换,在加减中不能替换例6求下列函数的极限lim arctan 3 x(1)2x + 3 x2x01lim n(an - 1)(2)n1 + x - 1(3)lim1 + x - 13x0111-(4)lim()xsin xtgxx0- ebe x(5)limx - bxblim(1 + 1 +1 )n(6)n2nn例设h(x) = f(x)g(x),f (x)

6、 0, limf(x) = 1, limg(x) = xXxX幂指函数求limh(x)xX解: limh(x) = limeg(x)ln f (x)xXxXlim g(x)(f ( x)-1)= limeg( x)ln( 1+(f ( x)-1)= exXxX1 型limg( x)(f ( x)-1)公式: lim f (x)g(x)=exXxX函数极限与数列极限的关系：lim f (x) = A limf(n) = Ax+n1x= 1例如,limxsinxlim n sin 1 = 1,nnn + 1n21= 1= 1,limsinlimn sinn n + 12nnny = sin xx练

7、习1、x 0时,下列函数中与x相比为高阶无穷小量的是 D .( A)sin x2 + x;(B)1 + x - 1;(D)1 - cos x.(C )x;2、计算下列极限:2sin 3x - x(2x - 1)30 (3x - 2)20(1) lim(2) lim(2x + 3)50x + 2x - x1 - x - 323xx0(3) lim2 + 3xx-8三、小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.极限的性质求极限的常用方法唯一性无

8、穷小的性质等价无穷小及其性质两个重要极限判定极限存在的准则无穷小的比较左右极限极限存在的充要条件无穷小lim f ( x) = 0两者的关系无穷大lim f ( x) = 数列极限函数极限lim xn = anlim f ( x) = Ax lim f ( x) = Ax x0求极限的常用方法1. 利用连续性求极限;2. 消去零因子法求极限;3. 无穷小因子分出法求极限;4. 利用无穷小运算性质求极限;5. 利用左右极限求分段函数极限;6. 利用两个重要极限；7. 利用等价无穷小替换；主要是分界点、无穷远点。8. 利用极限存在准则求极限9. 其它方法求极限： 1 + x - 22n2 + n + 1 1、lim ； 2 、 lim ； (1 - n)x - 312nx3 1 )3 x13、lim(- 1) ； 1 ； 4 、 lim x(e x1 + xx0x+ x tan x - 1 1 ln(1+ x )lim(cos x)li