概率论-南京大学教程.ppt

1、第一部分概率论基础,Ch1.概率论的基本概念,1.1随机事件,人们在实践活动中所遇到的现象一般来说可分为两类： 一类是必然现象，或称确定现象； 一类是随机现象，或称不确定现象。,随机现象,随机现象是指在相同条件下重复试验，所得的结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象；对这种现象来说，在每次试验之前哪一些结果发生，是无法预言的。 例如：,出生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩； 向一目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标； 从一批产品中，随机抽检一件产品，结果可能是合格品，也可能是次品；,是否有规律可循呢？,一. 随机试验与事件,随机试验 E E : 描述,有如下试验：,E1：抛一枚硬

2、币，观察正面H,反面T出现的情况。H,T E2：抛一枚骰子，观察出现的点数。1,2,6 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 H,H,H,H,H,T,H,T,H,H,T,T,T,H,H,T,H,T,T,T,H,T,T,H E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 0,1,2,3 E4：观察灯泡的寿命。 0, +) E6：记录某地一昼夜的最低和最高温度 (t1, t2)| TL t1 t2 TH . 以上试验有以下特点：,E的三个特征：,同条件下可重复性 具体会出现什么结果不可知随机性 实验前可知所有可能结果可观测性,有如下试验：,E1：抛一枚硬币，观察正面H,反面T出现的情况。

3、H,T E2：抛一枚骰子，观察出现的点数。1,2,6 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 H,H,H,H,H,T,H,T,H,H,T,T,T,H,H,T,H,T,T,T,H,T,T,H E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 0,1,2,3 E4：观察灯泡的寿命。 0, +) E6：记录某地一昼夜的最低和最高温度 (t1, t2)| TL t1 t2 TH,样本空间：,所有可能的结果的集合样本空间 记作S或者 每个可能的结果样本点；,称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生 多个样本点组成称

4、为复合事件。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件；空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件,二、事件,包含 相等 和（并） 积（交） 差 互不相容，互斥 对立 完备事件组,三、事件间的关系和运算,概率论与集合论中的符号表示,事件间的运算律,交换律 结合律 分配律 德摩根律,例,观察三次射击命中情况，用A1表示事件”第一次射击命中”, A2表示事件”第二次射击命中”, A3表示事件”第三次射击命中”。 试表示事件： 1、全部落靶 2、命中一次 3、命中两次 4、全

5、部命中,例,5、至少命中一次 6、至少一次没命中 7、至少命中两次 8、至多命中两次 9、至少两次没命中 10、事件 的意义,四.频率,频率：设事件A在n次试验中出现nA次，则比值 叫做事件A在这n次试验中出现的频率,频率的性质：设E：S，A、B、n 1。非负性: 2。规范性: 3。可加性: 若 AB= 推广：有限可加 可列可加,频率的稳定性,eg掷硬币实验 频率随着n的增加而逐渐趋于一个常数（存在）,1.2古典概型,定义 1。样本空间有限 2。每个结果是等可能发生的 设事件A，定义A发生的概率 eg.掷硬币1/2；掷骰子偶数3/6,做题步骤 step1.E是什么，s？有限否 2.基本事件是否

6、等可能 3.P(A)=k/n,计数法则,【乘法定理】 设完成一件任务有k个步骤，第i个步骤有ni种方法，且必须通过k个步骤才算完成，则完成此任务共有方法数： 【加法定理】 设完成一件任务有k类办法，在第i类 办法中有ni种方法，则完成此任务共有方法数,计数,抽样,例,抛一个均匀的硬币两次，观察两次出现的情况，计算以下事件的概率： A：出现两次正面朝上 B：出现两次相同的面朝上,例抽球问题,盒中有10个球，有4个白球，6个红球，按以下方式连取3次： a、放回抽样 a、不放回抽样 求以下事件概率： A=“取到3只白球” B=“取到2只红球1只白球”,例,设N件产品中共有M件次品，从中任取n件，恰有

7、m（mM）件次品的概率,对于非还原抽样，除非题目给定，尽可能按不考虑顺序方式考虑。,例4.有a个黑球和b个白球，求第k次恰取得黑球的概率,方法一：只取k次 方法二：(a+b)个全取 方法三： 注意，这个结果与k值无关。这表明无论哪一次取得黑球的概率都是一样的，或说取得黑球的概率与先后次序无关。这从理论上说明了平常人们采用的“抓阄儿”的办法是“公平”的。,例 设局域电话号码可选五个数码组成，每个数码可以是0,1,2, ,9中的任一个。求这些事件的概率。 设 A1=“5个数码全相同”， A2=“5个数码全不相同”， A3=“5个数码中有两个3”，,解 将每一可能的电话号码作为基本事件，它们可认为是

8、等可 能的。由于数码是可重复的，故基本事件总数为105 1)显然，A1中包含的基本事件数为10，故,2) A2中包含的基本事件数为， 故 3) A3中包含的基本事件数是 ，这是因为数码3在电话号码中占两个位置的方法有 种，而其余3个数码中的每一个都可以从剩下的9个数码0，1，2，4，9中重复选取，有9种方法。故,续,分配,例 将r个人随机地分配到n个房间里，求下列事件的概率,解 由于每一个人都可以分配到n个房间中的任一房间，所以将r个人分配到个房间去共有 种分法。每种分法当作一个基本事件，那么基本事件总数为 1）将r个人分配到指定的r个房间，每个房间一人，共有 种分法。故 特别地，当n=365

9、，r=100时, P(A1)=0.000 000 3 n=r=6时， P(A1)=0.01543,设 A1=“某指定的r个房间中各有一人”， A2=“恰有r个房间中各有一人”， A3=“某指定房间恰有k人”。,2）由于r个房间可以任意的，即可以从n个房间中任意选出r个来，这种选法共有 种。对于每种选定的r个房间，每一房间分配一个人的方法有 种。故中包含的基本事件数为 。因此 3）由于某指定房间中分配k个人的分法有 种，而其余 r-k 个人任意分配到n-1个房间的分法有 种，所以其中包含的基本事件数为 。因此,有4本书，随意放入书架，排成顺序14或41的概率 分析 每种排列都是等可能发生的， 排

10、列的不同方法数样本空间点数 =全部样本点数n4！ A=“恰好排成顺序”，A包含样本点数k=? P(A)=k/n=2/4!=1/12,例,讨论,(1) “三四两册相邻”A1 A1包含的样本点数23! 所以 P(A1)=23!/4!=1/2 (2) “第一册在旁边”A2 A2包含的样本点数23! 所以 P(A2)=23!/4!=1/2 (3) “第一、四册均在旁边”=A3 A3包含的样本点数2!+2! 所以 P(A3)=22!/4!=1/6 (4) “第二或三册在旁边”A4,例5. 在1-2000中任取一整数，问取到整数 不能被6或8除尽的概率,先求1-2000中，能被6除尽的整数个数：2000/6=333 能被8除尽的整数个数：2000/8=250 能被6和8除尽的整数个数：2000/24=83,Sol. 设 A事件为“取到整数能被6除尽” B事件为“取到整数能被8除尽” C事件为“取到整数不能被6和8整尽”，则C=,例7. 接待站在某一周里共接待12次来访,1）若12次均在周二或周四，问接待时间是否有规定 Sol. 假设等可能接