6静定结构的内力计算.ppt

1、静定结构 内力计算,建筑力学,静定结构内力计算,6.1 构件内力及其求法 6.2 内力图 6.3 直杆的荷载内力关系 6.4 叠加法作弯矩图 6.5 静定平面刚架 6.6 三铰拱 6.7 静定平面桁架,一、内力,外力引起，连续分布,6.1 构件内力及其求法,物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力。,F2,F1,F3,M4,6.1 构件内力及其求法,作用线垂直于横截面并通过其形心 正负号拉伸为正（背离截面） 单位 N , kN,N 轴力,6.1 构件内力及其求法,Q 剪力,左端向上、右端向下为正,作用线垂直于杆件的轴线，与横截面相平行 正负号截面的外法线顺时针转动90

2、后所在的方 向为剪力的正方向；截面的外法线逆时针 转动90后所在的方向为剪力的负方向； 单位 N , kN,Q(+),Q(),Q(),Q(+),6.1 构件内力及其求法,M弯矩,作用面垂直于杆件的横截面 正负号梁下侧纤维受拉上侧纤维受压为正，梁下 侧纤维受压上侧纤维受拉为负； 单位 Nm, kNm,M(+),M(+),M(),M(),梁上压下拉的弯矩为正,6.1 构件内力及其求法,截面法 求内力的基本方法,将所求内力的截面用假想平面截成两半， 利用任意一半的平衡条件求出该截面内力。,截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部

3、分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。,6.1 构件内力及其求法,例1 求图示杆的轴力,10kN 1 20kN 2 10kN 3 20kN,1,2,3,解：各段轴力计算： N1=10kN, N2=10kN, N3=20kN,6.1 构件内力及其求法,例2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试求杆的轴力。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图,6.1 构件内力及其求法,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,

4、N2= 3P N3= 5P N4= P,D,PD,6.1 构件内力及其求法,解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。 取左侧x 段为对象，内力N(x)为：,例3 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。,L,q(x),q(x),6.1 构件内力及其求法,例4：求指定截面内力,Q = P,Q = q（ l x ）,M = P x,M = q（ l x ） （ l x ）/ 2 = q( l x )2 / 2,6.1 构件内力及其求法,例5 : 求指定截面内力,解：1. 求支反力 FA=2qa （） FB = qa（）,2. 求指定截面剪力和弯矩,Q2 = RA

5、qa= qa,Q1 = qa,M1 = qa2,M2 =qa2qa2= 0,6.1 构件内力及其求法,q,qa2,qa,FA,FD,A,B,C,D,例6 求指定截面内力,E,支反力 FA=-3qa/8 （） FD = 3qa/8（）,6.1 构件内力及其求法,内力图,目的：表达内力沿轴线分布的规律 方法：画几何图像 横坐标杆的轴线 纵坐标内力 意义：确定出最大内力的数值及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。,6.2 内力图,6.2 内力图,例1 作图示杆的轴力图,10kN 1 20kN 2 10kN 3 20kN,1,2,3,解：1.各段轴力计算： N1=10kN,

6、N2=10kN, N3=20kN 2.作轴力图,10,20,10,N（kN）,6.2 内力图,轴力图要求,1. 与杆平行对齐画 2. 标明内力的性质（N） 3. 正确画出内力沿轴线的变化规律 4. 标明内力的正负号 5. 注明特殊截面的内力数值（极值） 6. 标明内力单位,6.2 内力图,例2 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解： 求OA段内力N1：设置截面如图,6.2 内力图,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,N2= 3P N3= 5P N4= P,轴力图如右图,D,PD,N,x,2P,3P,5P,P,6.2 内力图

7、,轴力(图)的简便求法： 自左向右:,轴力图的特点：突变值 = 集中载荷,遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。,3kN,5kN,8kN,6.2 内力图,FA,FB,q,例3 作图示梁的Q ， M图。,6.2 内力图,FA,FB,F,例4 作图示梁的Q ， M图。,6.2 内力图,FA,FB,M,例5 作图示梁的Q，M图。,6.2 内力图,一、分布荷载 与内力间的微分关系,q(y),q(y),M+dM,Q+dQ,Q,M,dx,A,y,6.3 直杆的荷载内力关系,q (x),Y = 0 , Q+qydx(Q dQ) = 0 ,mA= 0, (MdM) M Q d

8、xqy(dx)2/2 = 0,忽略高阶小量,dM Q dx qy(dx)2/2 = 0,6.3 直杆的荷载内力关系,X = 0 , -N-qxdx+(NdN) = 0 ,分布荷载与内力的微分关系,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,几何意义,6.3 直杆的荷载内力关系,6.3 直杆的荷载内力关系,二、集中荷载 与内力间的增量关系,增量关系： DN=-FPx DQ=-FPy DM=m,几何意义： （1）水平集中力FPx作用点两侧截面N图有突变， 其突变值等于FPx。Q图和图不受影响。（2）竖向集中力FPy作用点两侧截面Q图有突变，

9、其突变值等于FPy。图有折点，其折点的尖角与 FPy方向相同；N图不受影响。（3）集中力偶作用点两侧截面的图有突变， 其突变值等于；N图和Q图不受影响。,6.3 直杆的荷载内力关系,三、 Q,M 图的若干规律 1. q = 0,Q图,M图,Q0,Q 0,q = 0,Q =0,6.3 直杆的荷载内力关系,Q,M 图的若干规律,Q图,M图,q 0,2. q = 常数,q0,抛物线,6.3 直杆的荷载内力关系,P,3. 集中力P 的影响,P,折角,P,P,突变P,Q,M 图的若干规律,Q图,M图,6.3 直杆的荷载内力关系,m,4. 集中力偶m 的影响,m,突变m,无影响,Q,M 图的若干规律,Q图

10、,M图,6.3 直杆的荷载内力关系,5. Q = 0的截面，必有Mmax 或 Mmin,Q,M 图的若干规律,6.3 直杆的荷载内力关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,6.3 直杆的荷载内力关系,6.3 直杆的荷载内力关系,控制截面： 外力规律发生 变化的截面集中力、集中力偶 作用的截面，分布荷载的起点和终 点处的横截面。,1. 控制截面的概念,6.3 直杆的荷载内力关系,（1）与梁对齐平行画出代表梁的 线段； （2）确定控制截面的Q,M 值； （3）利用微分关系，画出

11、控制截面 之间的Q, M 图形。,2. 绘制Q,M 图的方法,6.3 直杆的荷载内力关系,例题1,作图示梁的FQ , M图,Q,解：1. 求支反力 FA= qa () FB= 2qa (),M,qa,qa,qa,qa2,qa2/2,a,3. 绘内力图,2. 计算控制截面 的内力值,6.3 直杆的荷载内力关系,例题2,作图示梁的剪力图和弯矩图,FA=14.5 kN（ ）,FB=3.5 kN （）,2.作Q , M 图,解：1. 求支反力,6.3 直杆的荷载内力关系,例题3,6.3 直杆的荷载内力关系,qa,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,q

12、a2,qa2/2,qa2/2,FQ图（kN）,M图（kN.m）,6.3 直杆的荷载内力关系,6.4 按叠加原理作弯矩图,叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足胡克定律。,1）、简支梁情况,弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合,M(x)=M(x)+M (x),竖标M，如同M、M一样 垂直杆轴AB，而不是垂直 虚线AB。！,6.4 按叠加原理作弯矩图,6.4 按叠加原理作弯矩图,简支梁在五种常见荷载作用下的弯矩图,6.4 按叠加原理作弯矩图,x,4kN

13、m,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,2)、直杆情况,(b),因此，结构中的任意直杆段都可以采用叠加法作弯矩图，作法如下：,首先求出两杆端弯矩，连一虚线， 然后以该虚线为基线， 叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,6.4 按叠加原理作弯矩图,qL,qL,qL/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,M 图 (kN.m),55,5,D,F,16kN.m,Q图（kN）,7,36.1,H,x,CE段中点D的弯矩MD

14、=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得： xQC/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m),6.5 平面刚架的内力图,刚架的组成 横梁、立柱 与刚节点。,一、平面刚架,1、刚架的内部空间大，便于使用。 2、刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 3、刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,刚架的特点,几何可变体系,桁架,刚架,6

15、.5 平面刚架的内力图,常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、主从刚架,6.5 平面刚架的内力图,二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算,整体平衡,左半边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,6.5 平面刚架的内力图,有关,(1)面内载荷作用下，刚架各杆横截面 上的内力分量轴力、剪力和弯矩。,(2)内力分量的正负号与观察者位置的 关系：,三、刚架的内力特点,6.5 平面刚架的内力图,与观察者位置有关,6.5 平面刚架的内力图,（3）结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆

16、两端字 母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,6.5 平面刚架的内力图,平面刚架内力图的画法,(1) 无需建立坐标系； (2) 控制截面、叠加法、微分关系； (3) 弯矩的数值标在受拉边，轴力、 剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号； (4) 注意节点处的平衡关系。,6.5 平面刚架的内力图,节点处的平衡关系,6.5 平面刚架的内力图,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN ND

17、B=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,X = 88 = 0,Y = 6（6） = 0,M = 248 16 = 0！,6.5 平面刚架的内力图,例1 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,FN 图,FQ 图,M 图,P1a+ P2 l,6.5 平面刚架的内力图,例2 试作图示刚架的内力图。,6.5 平面刚架的内力图,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M图,N图,Q图,校核：,满足： X0 Y0 M0,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 杆相交的刚结点，无结

18、点集中力偶作用 时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。,6.5 平面刚架的内力图,作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a =qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a =0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2,qa2/2,qa2/2,6.5 平面刚架的内力图,N,Q,例3 试作图示刚架的内力图。,1 反力计算 1) 整体 M

19、A= qa2+2qa22aYB=0 (1) 2) 右半边 MB=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得 XB=0.5qa YB=1.5qa 3) 在由整体平衡 X=0 解得 XA=0.5qa Y=0 解得 YA=0.5qa,2 绘制弯矩图,qa2,注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由支座作起！,1/2qa2,0,q,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,6.5 平面刚架的内力图,拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。,水平反力产生负弯矩，可以抵消一部分正弯矩,与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）,其缺点是：拱对基础或下部结

20、构施加水平推力，增加了下部结构的 材料用量；,节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度, 应力沿截面高度分布较均匀。, 宜采用耐压不耐拉的材料 ，,如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。,拱具有曲线形状，施工不方便.,1、拱的特点,6.6 三铰拱,为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。,6.6 三铰拱,一、反力计算,对拱：MB=0 VA=MBP/l,其中 MBP 是所 有荷载对B点的矩,=YAl2Pa是简支梁的C截面弯矩,由 MC=0 得 VAl/2 PaHf=0 H=（VAl2 Pa）f 即 :,对梁：MB=0 YA=MBP/l VA=YA （1） 同理 VB=YB （2）,反力计算

21、公式：,注：该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，,VA=YA ； VB=YB； H=MC0/f,而与拱 轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。,三铰拱的内力计算,二、内力计算,Q（VAP）cosHsin,QQ cos Hsin,N（VAP）sinHcos,NQsin Hcos ,注：1、该组公式仅用于两底铰在 同一水平线上,且承受竖向荷载； 2、在拱的左半跨取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯 矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变

22、。,M VA xPdHy,(1)求反力,解:,(2)作相应简支梁的 M图和Q图,D,(3)截面几何参数,(4)将拱沿跨度八等分, 算出每个截面的M、 Q、N。 (5)以 x=12m的 D截面 为例，,A,C,B,D,D,D,D,5,1,重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。,M图 (kN.m),0.71,0.4,0,-1,0.49,-0.49,-1.79,1.79,-0.40,0.70,Q图 (kN),N图 (kN),在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴。 由 M（x）=M(x)Hy(x)=0 可得合理拱轴线方程为: y（x）=M(x)H,在荷载、跨度、矢高给定时，H是一个常数.合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例.,三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。,=,在荷载、跨度给定时，合理拱轴线 随 f 的不同而有多条,不是唯一的。,三铰拱的合理轴线,例 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+y,在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。,q(x),