第二十四讲 相似矩阵的概念.ppt

1、1,第二讲 相似矩阵的概念,二、相似矩阵与相似变换的性质,三、方阵相似对角化的条件,一、相似矩阵的概念,第五章 相似矩阵与二次型,2,则称矩阵 A 相似于矩阵 B.,一、相似矩阵的概念,定义 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可逆,矩阵, 且,P -1AP = B ,对 A 进行运算P -1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.,3,例如：,因为,所以A与B相似.,4,二、相似矩阵与相似变换的性质,相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系具有下面的性质:,5,以下设A，B 是同阶矩阵.,因而 A与B有相同的特征多项式和特征值.,性质

2、1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则,|A - E| = |B - E| ,相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性：,证明: 因为 A与B相似, 所以存在可逆矩阵P使得,6,相似变换是不改变特征值的变换,推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵, = diag(1 , 2 , , n),相似，则 1 , 2 , , n 即是 A 的 n 个特征值.,7,g(A) 与 g(B) 相似.,证明略.,性质3 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是,正整数, g(x) = a0 xm + a1xm-1 + + am , 则,kA 与 kB 相似,Am 与 Bm 相似,性质2 若矩阵 A 与矩

3、阵 B 相似,且矩阵 A,可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.,8,例1 设 与,相似. 试求 之值.,解：根据相似矩阵的性质知，5，-4是A的特征值， 所以,由第二个等式得x=4，,又tr(A)=tr( )，可得 y=5.,9,些运算.,例2 设,在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如,果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某,请看下例,计算Ak .,10,容易验证,于是,由此可得,直接计算, 运算量很 大也不易 找出规律. 利用A 相 似于对角 矩阵的性 质.,11,相应的可逆矩阵 P ?,那么, 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵?,如,果能相似于对角矩阵,

4、 怎样求出这个对角矩阵及,下面我们就来讨论这个问题.,为把矩阵A对角化,若矩阵A与对角矩阵相似，则称 A 能对角化，,求相似变换矩阵P，使P1AP = 为对角矩阵称,12,定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充,要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值,则A 必能相似于对角矩阵.,根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线性无关” 知, 若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.,有重特征值的方阵A，有可能不可对角化，也有可能可对角化. 方阵A能否对角化, 关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数.,三、矩阵可对角化的条件,13,例 3 设有矩阵,问矩阵 A 是否可对角化？,解：矩阵 A的特征多项式为,14,所以 A 的