函数的连续性与间断点(重点内容全)_第1页
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1、函数的连续性与间断点一、函数的连续性1 增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即。（增量可正可负）。例1 分析函数当由变到时，函数值的改变量。2函数在点连续的定义定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增也趋向于零，则称函数在点处连续。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数在点处连续。 定义3：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数在点连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三

2、个条件：（1） 函数在点的某个邻域内有定义（函数在点有定义），（2） 存在；（3）。 3函数在点处左连续、右连续的定义： （1）函数在点处左连续在内有定义，且（即）。 （2）函数在点处右连续在内有定义，且（即）。 显然，函数在点处连续函数在点处既左连续又右连续。 (3)、函数在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。3、函数在区间上连续的定义定义4：如果函数在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数在该区间上是连续的。例1：讨论下列函数在区间内的连续性（1）（2） （3）例2：设，试确定的值，使函数在处连续。二、函数的间断点（一）间断点概念：设函数在内有定义（在点处可以无定义），如果函数在点处不连续，则称点为函数的一个间断点（或不连续点）。函数在点连续： 函数在点不连续：（1）函数在点有定义， （1*） 函数在点没有定义（2） 存在； （2*）不存在（3） （3*）存在，但在点 没有定义， 或（二）.间断点的分类设为函数的一个间断点，1、第一类间断点，都存在， （1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。函数在点无定义，函数在点有定义，但。（2）若，即不存在，此类间断点称为跳跃间断点。2. 第二类间断点与中至少有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷间断点

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