第十四章 超静定结构

1、第十四章超静定结构第十四章超静定结构14-1 超静定结构概念14-2 用力法解超静定结构14-3对称及反对称性质的利用14-4连续梁及三弯矩方程回顾：拉伸压缩时求解超静定结构弯曲变形时求解超静定梁用能量方法求解超静定结构14-1超静定（静不定）结构概述一、静定结构与超静定结构静定结构：全部反力和内力只用平衡条件便可确定的结构。BAFFABC超静定结构：仅用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。BAFFABC外力超静定问题FBA内力超静定问题二、在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为：第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,可称为外力超静定系统;第二类:仅在结构内部存在多余约

2、束,即内力是静不定的,可称为内力超静定系统;第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称混合超静定结构。（b）（d）（c）（e）内力超静定外力超静定混合超静定内力超静定外力超静定（a）常见超静定结构的类型梁刚架桁架拱铰接排架组合结构我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的基本静定系，再加上多余约束力称为相当系统。BABABAFFFCCC相当系统超静定结构基本静定系三、超静定次数的判定（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支 反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数；（

3、2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力超静定;平面桁架的内力超静定次数利用杆件数和节点数之间的关系判断。(m=2n-3)杆数为m , 节点数为n .四、分析方法1. 力法:以未知力为基本未知量的求解方法;2. 位移法:以未知位移为基本未知量的求解方法.14-2用力法解超静定结构在求解超静定结构时，一般先解除多余约束，代之以多余约束力，得到基本静定系，再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法称为“力法”。例如：该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座B，并以多余约束X1代替X 1CAACBB al alFF若以 D1

4、表示B端沿竖直方向的位移，则： D1= D1F + D1X1= 0(*)X1D1FAAC BCFBD1X1D1X1D1F是在X1单独作用下引起的位移是在F单独作用下引起的位移1AC B d11对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力D1 X也是d111“1”的X1倍，故的X1倍，即有= d11 X1D1 X1所以（*）式可变为：d11 X1+ D1F= 0l 32= - Fad=D(3l - a)若：111F3EI6EIFa2于是可求得X1 =(3l - a)2l 3d11 X1+ D1F= 0D1FB求解 D1F积分法aFAC：M1 ( x) = F (a - x)lD1F 由F引起B处

5、(1处)沿X1位移F = 1M( x) = -(l - x)1BC：M2 ( x) = 0M 2 ( x) = -(l - x)B2Fa- Fal3 1EIaD1F=M ( x)M ( x)dx6EI2EI0ACACd11 X1+ D1F= 0求解 D1F图乘法MFaD1FBaFLa/3Mc= l - a / 3llF = 1MBLMc) =wMFa aFa3Fa2l1a3D= - (l - c EI1FEI26EI2EIACACQ=1dd11X+ D= 01111FB求解积分法d1111AB：由单位力引起B处(1处)沿X1的位移M( x) = -Q(l - x) = -(l - x)F =

6、1M ( x) = -F (l - x) = -(l - x)无需写出用求解D1FB时的单位载荷即可l 3 1EI 1EIlld11=M ( x)M ( x)dx =M 2 ( x)dx =3EI00ACAd11 X1+ D1F= 0无需画图用求解D1FM时的单位载荷即可自乘d11图乘法求解Q=1Bd11LL/3F = 1MBMcLwMl ll 312lDd= X= - 1F c EI11d1EI233EI11ACA例1 求图示刚架C处反力。aFBC解：视C处为多余约束，用X1代替d11 X1+ D1F= 0aX1求解 D1FA积分法AB：M1 ( x) = -FxM1 ( x) = aFBC

7、xF = 1xBC：M2 ( x) = 0M 2 ( x) = xA3 1EI 1EIFaaaD1F=+= -MM dxMMdx11222EI00d11 X1+ D1F= 0求解 D1F图乘法aaFCBCaF = 1aAFawMFa aFa31D= - a = - c EI1FEI22EIBAd11 X1+ D1F= 0aBC求解dQ = 1x积分法11aAB：M1 ( x) = aM1 ( x) = aABC：M2 ( x) = xBCM( x) = xxF = 1211aMaMd=M dx +Mdx111122EIEI00A3114aaa=Mdx +Mdx =2212EIEI3EI00xx

8、d11 X1+ D1F= 0求解d11a图乘法aCCaaQ = 1F = 1wMa a4a312ad=+ a a a) = c EI(11EI233EI= - D1F= 3F () F= XdC1811BABA例2 求图示桁架三杆内力，已知EA。解：视1杆为多余约束，用X1代替。d11 X1+ D1F= 0ACBACBX1213213llaaaaDFDFdACBX+ D= 0ACB1111FQ=1213213和dD求解ll1F11aaaaFFlD= NiNii 1F EADDF= FNi FNi lid11EA= l + l2cos3 a编号FNiFNiliFNiFNiliFNiFNili10

9、102F / 2cosa- 1 / 2cosa- Fl / 4cos3 al / 4cos3 a3F / 2cosa- 1 / 2cosa- Fl / 4cos3 al / 4cos3 a= - Fl2cos3 ad11 X1+ D1F= 0= FNi FNili= - FlD2EAcos3 a1FEAl(2cosa + 1)3FFld=NiNiiEA2EAcos3 a11= - D1FF1 + 2cos3 a所以1杆件内力为 F= X=(拉)dN 1111F cos2 a= FN 2=(拉)1 + 2cos3 aFN 3由平衡方程练习 试求图示平面刚架B的支座反力。已知各杆 EI=常数。qq

10、F = 11 qa3qa4= -EI a = -2EID1F2 a212a4ad11=EI2+ a a =3E23= 3q由dX+ D= 0得X1111F183Ia ()M图M图上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？P2P2P1P1P3P3 X1X 2X 3变形协调条件 ：D1= D 2= D 3= 0D i表示Xi作用点沿着 X i 方向的位移由叠加原理：D1 = D1X+ D1X+ D1X+ D1P123= 0D1 = d11 X1 + d12 X 2 + d13 X 3 + D1 P = 0D 2 = d 21 X1 + d 22 X 2

11、+ d 23 X 3 + D 2 P = 0同理D 3 = d 31 X1 + d 32 X 2 + d 33 X 3 + D 3 P = 0d11 X1+ d12 X 2 +L+ d1n Xn + D1F = 0d+ dX+L+ dX+ D= 0X力法正则方程： 2112222nn2 FLLLLLLL+ dn 2 X 2 +L+ dnn Xn + DnF = 0dn1 X1d11d12d22Ld1n X1 D1FLLLLd21d2n X 2 D2 FL矩阵形式： + = 0L L L d XDddnn n nF n1n 2d ii 表示沿着Xi 方向 Xi = 1单独作用时所产生的位移dij

12、 表示沿着Xi 方向= 1 单独作用时所产生的位移XjDiF 表示沿着Xi 方向载荷F单独作用时所产生的位移XiMi= 1引起的弯矩为 设：XM= 1引起的弯矩为jj载荷F引起的弯矩为 MFMiMild=dx则 ：iiE IMiM jd=dxijE IlMiMFlD=dxiF E I例4试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。解：刚架有两个多余约束。选取并去除多余约束，代以aA多余约束反力。建立力法正则方程qd11 X1+ d12 X 2 + D1P= 0BAX2dX+ dX+ D= 02112222 Pq计算系数dij和自由项DiP用莫尔定理求得BaX1Aqa411aD1P=(-qx)

13、a dx= -222EI 1EI126EIq0qa41aD=(-qx) x dx= -22 P22228EI0BA14a3aa(x1 dx1 + adxd11=) =222EI13EI00a3ad=x2 dx2 =222EI3EI0BA1a31a=EId12= d 21=2EIax2dx20Bx2x2x2 x1 x1 x1求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得14a3a3qa4= -qa()X+X-=X0112283EIa32EIa36EIqa4= 3 qa()X+X-=X021272EI3EI8EIA3qa7求其它支反力由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。q4qa71 qaqa28

14、1 qa28B32 2814-3对称及反对称性质的利用一、对称结构EI对称轴E1I1E1I1对称结构：结构几何尺寸,形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴, 则称此结构为对称结构.若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。二、对称载荷和反对称载荷EI对称轴E1E1I1E1E1I11I1E1I1对称载荷：作用位置对称、数值相等、指向对称;反对称载荷：作用位置对称、数值相等、但是指向相反;EII1对称E轴EII1对称轴F2F2F1F1对称载荷:绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合,而且每对力数值相等.F2F2F1F1反对称载荷:绕对称轴对折后，结构在对称轴

15、两 边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反.F/2F/2FF/2F/2FM/2M/2E1E1I1EII1对称轴三、对称结构的对称变形与反对称变形EI对称轴E1E1I1EIE IE I1111 11 1当对称结构受到对称载荷时，将产生对称变形，其内力分布也对称于结构对称轴;当对称结构受到反对称载荷时，将产生反对称变形，其内力分布也反对称于结构对称轴;EII1对称E轴EII1对称轴2P2P2PPlPlEI2EIEI11PPllPP变形对称受对称荷载的对称结构 反力、内力对称PPPlPPPPEI2PlEI1EI1PPllPP变形反对称受反对称荷载的对称结构反力、内力反对称ll四、对称性质的应用

16、利用这一性质可以有效的降低静不定次F 数。SMMFFNNEI对称轴FSE1I1E1I11、对于平面对称刚架，对称轴横截面的内力有：轴力、剪力和弯矩。其中，轴力、弯矩为对称内力，剪力为反对称内力。2、对称结构作用对称载荷，则反对称内力（剪力）为零；3、对称结构作用反对称载荷，则对称内力（轴力、弯矩）为零。对称结构在对称载荷作用下的情况：X2FFFFXX1X3PPPP用图乘法可证明可得：d12= d 21 = d 23= d 32= 0= -D1Fd11 X1d 31 X1d 22 X 2+ d13 X 3+ d 33 X 3 = -D 3F= 0于是正则方程可化为当对称结构上受对称载荷作用时，在

17、对称面上反对称内力等于零。3X2对称结构在反对称载荷作用下的情况：X2FFFFXX1PPPP同样用图乘法可证明可得：d12= d 21 = d 23d 11 X1= d 32= 0+ d 13 X 3= 0= 0于是正则方程可化为d+ dXX311333d 22 X 2= -D 2 F当对称结构上受反对称载荷作用时，在对称面上对称内力等于零。X33X2利用结构的对称性简化计算目标：尽可能多的副系数等于零。1、选取对称的基本结构和对称及反对称的基本未知力1） 选择对称基本结构，对称和反对称的基本未知量2） 对称荷载作用下，只考虑对称未知力（反对称未知力为零）3） 反对称荷载作用下，只考虑反对称未

18、知力（对称未知力为零）4） 非对称荷载，可分解为对称和反对称荷载2、使用组合未知力PP/2P/2P/2P/2EI2EI1EI1+=P/2+P/2P/2P/2=P EI2EI2EI2EIEIEIEI EIEI例1试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。C解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方PPaAB程求解。PPX1X1dX+ D= 01111P用莫尔定理求D1P和d11。ax1PPx1BMAMBRARB31) a dx= - Paa(- PxD=1P22EI24EI0a27Pa31a2a

19、d= dx+ dx =x2)2(11112EI24EI007Pa3Pa3由平衡方程求得：-4EI= 0X1则24EI6RA = RB = 7 PHA = HB = P6 X1 = 7 P4MA = MB =Pa7x2x21PAHAHB另解：用单位载荷法求剪力FS变形协调条件是:x1FSFx F2FS切口两侧截面的相对竖直位移等于零.D1/ 1= 0M( x1 ) = Fs x1M ( x) = Fa - Fx 2s2211M ( x1 ) = x1M ( x) = a22a / 22(Fa - Fx) a dxaD=F x+ = 02dx1/ 1s11s22EI22002a - Fx) a d

20、xa / 2aD=F xdx+ = 02(F1/ 1s11s22EI2200F= 6 Fs7由平衡方程求得:= 6 F= FCFRAyRBy7= FFFFRAx= FRBxM= M= 4 FaABAB7FFRAxRBxMAMBFFRAyRBy例题2图示刚架，C截面承受弯矩M作用，计算C截面转角。EI为常数。MC解:图示刚架为三次静不定.但由于结构是对称的,而载荷反对称,故对称轴横截面上轴力,弯矩为零,只有一个多余未知力（剪力DBAFF）。S变形协调条件是:切口两侧截面的相对竖直位移等于M/2FSM/2FS零.D1/ 1= 0用单位载荷法求剪力FSM/2M/2x1x2FSMFSM( x ) =+

21、 F x1s12M ( x) =M + FS l222M ( x1 ) = x1x1x112l2M ( x) =22MM + FS l ) ll / 2lD=+)( x) dx+()dx = 0 22(F x(1/ 1s111sEI222002MM + FS l ) ll / 2lD=+F x)( x) dx+()dx = 0 22(1/ 1s111sEI222M/20015MM/2FS= -x114lx2FSFS选取相当系统如图，求C截面转角。M ( x) = M + F x= M - 15Mx1s112214l) = M + FS l = M - 15M= - M1M( xx1222228

22、28x2M ( x1 ) = 1M ( x2 ) = 1M ( x) = M + F x= M - 15Mx1s112214l1) = M + FS l = M - 15M= - Mx1x2M( x22222828M ( x1 ) = 1M ( x2 ) = 1？1M - 15M- Ml / 2lq=+(x1 ) dx1()dx2 CEI214l28009Ml=（）112EI例题3在等截面圆环直径AB的两端,沿F直径作用方向相反的一对F力（图a）.试求AB的相对线位移。解:沿水平直径将圆环切开（图b）,由载荷的对称性,截面C和D上的剪力等于零,只有轴力FN和弯矩M0.ACDaBF(a)F利用平

23、衡条件求出FN=F/2,只有 M0 为多余约束力.M0M0(b)ACDFNFN根据对称性,只研究圆环的四分之一（图c）,变形协调条件为切口两侧截面的相对转角等于零AjM0 DFN(c)FaM() =M =M0 +(1cos)214- Fa (1 - cosf )R df =Ap / 2Mq=01/ 10EI20D1jM= Fa( 1 - 1 )(e)02M= Fa( 1 - 1 )02M0 +FaAM() =(1cos)jM0D2FN任意截面上的弯矩cos (c)11Fa1M() =Fa( 2 ) +(1cos) =Fa( )22在A,B两点作用单位力（图f）,则单位力作用下圆环内的弯矩为A1

24、M() = a( 1cos )(0 j )122B（f）在A,B两点作用单位力（图f）,则单位力作用下圆环内的弯矩为A1M() = a( 1cos )(0 j )221B使用莫尔积分求A,B两点的相对位移d（f） M (j )M (j )adj 2cosj4Fa31d)2dj= 4=-(2 EI2EI2003= FaFa3 4-) = 0.149(EIEI例题4求图a 所示钢架的反力. qC qFSCqaEIqEIFa EIASEIB(a)解:钢架有4个反力,是一次超静定结构。结构上的载荷是反对称的，C截面只有剪力不为零。 由平衡方程直接得到:= qa= qaqa= 0F= 0FFFs =FB

25、yBx2AxAy22例5:平面刚架受力如图，各杆束力及A、B处的支座反力。EI=常数。试求C处的约q a22a a3C1解：d11 = =EI 233EI a2qa2qa41= -EI = -16EID1P28q+ DdX= 0得a2由力法正则方程:1111P= 3qaaX116= 3qaA= 0，M= 0XYCCC16qa( )3qaqa28Y= Y=X() = X() =,ABAB2168qa2MA (顺时针) = MB (逆时针) =16aqa2a 2aBAaa 2例6：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。Ba解：载荷关于对角线AC和BD反对称PPa由平衡条件可得

26、：DC2PQ = P cos 45 =PaaP2QAB= PaM(M发生在外载荷P作用点处)maxmax2 PCQAP14-4 连续梁与三弯矩方程连续梁：为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械 中常见的这类结构称为连续梁。2n-1n1n+10l1l2ln+1ln撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多 余约束，中间支座数就是连续梁的超静定次数。三弯矩方程连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定 梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方

27、程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁 琐。设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。M1Mn-1M2MnMn+12n-1n1n+10l1l2lnln+1Mn-1M1MnM2Mn+1这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1、M2、Mn-1、Mn、作为多余约束力，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上 大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的 位移是两侧截面的相对转角。如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度ln、ln+1，设n支座上方，铰链两侧的相对转角为Dn，则= d n(n-1) Mn-1Mn-1n-1+ dnnMnMnn

28、+ d n(n+1) Mn+1Dn+ DnP= 0Mn+1n+1ln+1lnn-1nn+1n11求DnP：静定基上只作用外载荷时，跨度ln上弯矩记为MnP，跨度ln+1上弯矩记为M(n+1)P。当只作用单位力偶矩时，跨度ln上和ln+1上弯矩分别记为xnxn+1M =M =lnln+1nn+1n-1ndwndwn+1nn+1n+1 n+1ab11nwn+1dxxMnPwnxndxn-1nn+1ndwndwn+1nn+1n+1anbn+111则由莫尔定理得M( n+1) P xn+1dxn+1MnP xndxnllD=+nPEIlnEIln+1n+1n1( 11llx dwdw=+x)n+1n+

29、1nnEIlnln+1n+1nM nP dxn= dwn= dwn+1M(n+1) P dxn+1式中wn+1dxxMnPwnxndxn-1nn+1ndwndwn+1nn+1n+1anbn+111lxndwn= anwnxn+1dn+1= bn+1n+1ln+1n1(wnan+ wn+1bn+1 )D=因此nPEIlln+1n1( xn )( xn )dx1( xn+1 )( xn+1 )dx1lld=+=(l+ l)n+1n+1nnnnEIlnlnEIln+1ln+13EI1n+1n1dd=ll类似地可求出n(n-1)n(n+1)n+1n6EI6EIwn+1dxxMnPwnxndxn-1nn+1ndwndwn+1nn+1n+1anbn+111将上述结果代入方程= d n(n-1) Mn-1+