第七章 经典力学的哈密顿理论.ppt

1、第七章 经典力学的哈密顿理论,内容： 哈密顿正则方程 哈密顿原理 正则变换 哈密顿雅可比方程 重点： 哈密顿正则方程 正则变换 难点： 正则变换,在经典力学中，力学体系的运动可用各种方法来描述。用牛顿运动定律描述，常常要解算大量的微分方程组，对约束体系更增强了问题的复杂性。1788年拉格朗日用s个广义坐标来描述力学体系的运动，导出了用广义坐标表出的拉格朗日方程，其好处是只要知道体系的动能和所受的广义力，就可写出体系的动力学方程。1834年以后哈密顿提出用s个广义坐标和s个广义动量（称为正则共轭坐标）描述体系的运动，导出了三种不同形式的方程：哈密顿正则方程、哈密顿原理和哈密顿雅可比方程，称为经典

2、力学的哈密顿理论。哈密顿理论和拉格朗日理论、牛顿理论是等价的。哈密顿理论的优点在于便于将力学推广到物理学其他领域。,7.1 哈密顿函数和正则方程,（1）哈密顿函数,拉格朗日函数是,和t的函数：,，它的全微分为,将广义动量和拉格朗日方程：,，,若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守恒，则,H=E=T+V,（2）哈密顿正则方程,哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为,（7.3）,比较（7.2）和（7.3）式，得,（7.4）,（7.5）,（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对称，结构紧凑。,对于非保守系，正则方程形式为,哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。,

3、解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？,粒子的拉格朗日函数为,（1）,广义动量,（2）,哈密顿函数,于是得正则方程,（3）,（4）,例2 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。,解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）,（1）,所以,则哈密顿函数,（4）,（3）式代入（4）式，得,（5）,正则方程为,（6）,将,代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程,7.2 哈密顿原理,（1）最速落径问题和变分法,数学上的变分法是为了解决最速落径这一力学问题而发展起来的。,如图7.4所示，铅直平面内在所有连接两个定点A和B的曲线中，找出一条曲线来，使得

4、初速度为零的质点，在重力作用下，自A点沿它无摩擦地滑下时，以最短时间到达B点。,设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为,质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间,（7.6）,显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么函数时，函数Jy(x)取极小值。Jy(x)称为函数y(x)的泛函数。Jy(x)取极值的条件为,算符称为变分记号。,变分运算法则和微分运算法则相似：,（7.8）,（2）变分问题的欧拉方程,求泛函Jy(x)的变分J = 0的条件：,为普遍起见，将（7.6）式改写,（7.9）,对上式求变分，令J=0：,因此，,（7.10）,（7.10

5、）是泛函Jy(x)取极值时函数y(x)必须满足条件，称为欧拉方程， 思考：欧拉方程形式上与拉格朗日方程有无区别？,（3）哈密顿原理,哈密顿原理提供了确定体系运动真实轨道的方法。, 定义：,体系的拉格朗日函数在,内的积分,（7.11）,为哈密顿作用量（或主函数），是,的泛函数。, 哈密顿原理,给出哈密顿原理。,对于非保守系，哈密顿原理的数学表达式为,（7.13）,式中,为广义力。,由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程、正则方程以及各种动力学方程，因此，哈密顿原理是力学的第一性原理或最高原理。在力学中凡能起“几何公里”作用，可由它导出全部力学定律的原理或假说，称为力学第一性原理或最高原理，如牛顿运动定

6、律、虚功原理、达朗贝尔原理等都是力学第一性原理，所以力学第一性原理的表述形式是多种多样的，各有优缺点，但都是等价的。,7.3 正则变换,（1） 选好广义坐标的重要性,选取不同的广义坐标，所得的微分方程的形式不同，求解方程的难易程度不同。如果选取的广义坐标使H函数中能多出现一些循环坐标，就能在正则方程中多得出一些积分，对微分方程的求解就更有利，否则微分方程的求解就变得十分困难，因此，为何选取广义坐标是理论力学中最富技术性的环节。,（2）正则坐标变换的目的和条件,正则坐标变换（正则变换）的理论，就是寻找最佳坐标，使H函数中出现更多的循环坐标，求解微分方程组变得更容易的方法。,设原来的正则变量为p、

7、q，通过变量变换新的正则变量为P、Q，它们的变换关系为,（7.14）,如果变换后，新的哈密顿函数,仍然满足正则方程,（7.15）,满足（7.15）式子的正则坐标变换称为正则变换。,满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：,（7.16）,式中F为正则变换母函数。,由（7.16）式可得,（7.17）,（7.18）,（3）四种不同类型的正则变换,（7.16）式是正则变换的一种形式，是以（q，Q）为独立变量的形式，对应的母函数F（q，Q，t）为第一类正则变换母函数。也可以（q，P），（p，Q），（p，P）为独立变量。, 第一类正则变换,（7.19）, 第二类正则变换, 第二

8、类正则变换, 第二类正则变换,（4）正则变换的关键,若变换后新哈密顿函数只是变量,及t的函数，即,则由（7.15）式知,可得力学体系2s个运动积分，于是体系的运动问题就完全解决了。体系能否有2s积分，全靠母函数F规定得如何而定，所以体系的运动微分方程的积分，从正则变换的眼光看，就变成为何寻找合适的母函数F的问题了，F规定适当，变换后出现很多循环坐标，问题即可大为简化。,例1 用正则变换法求平面谐振子的运动,，振,解：设振子沿x，y方向的动量为,动频率为,，哈密顿函数为,设母函数,由（7.19）式，得,（2）,将（3）式中的,及,表示代入（1）中，得,（4）,（5）,由（7.15）式，得,（6）

9、,积分得,（7）,由（3）式得振子运动方程,（8）,7.4 哈密顿雅可比方程,（1）方程的推导,通过正则变换可使新的哈密顿函数,结构简化，从而使正则方程,易于求解。最理想的情况是,，这时 （常数），,（常数）。,的结构形式与母函数F有关。在四类正则变换中，母函数和新旧,哈密顿函数的关系为,（7.23）,取第二类母函数,，则由（7.20）式得,（7.24）,并根据,=0的要求，令,，则（7.23）式为,（7.25）,由（7.25）式知：如果F（q,t）是方程的解，则,（常数）,（7.26）,也是方程的解，故（7.25）式可改写成,（7.27）,（7.27）式称为哈密顿雅可比方程，其中S（q,t）

10、称为哈密顿主函数。,从（7.27）式求出S，再由,求出,，由,求出,，就可得出正则方程的全部积分了。这样，,正则方程的求解问题归纳为为何从哈密顿雅可比方程（7.27）式求S的,问题。,（2）方程的解,为简单起见，设H=E（常数），即讨论能量守恒或广义能量守恒,问题的求解。,哈雅方程为,（7.28）,由于上式是包含s个q和t的变量的偏微分方程，故对t积分后得,（7.29）,式中,称为哈密顿特征函数，将,（7.30）,代入关系H=E，得,（7.31）,从（7.31）式可解得W，再代入（7.29）式，就可得到H=E体系的哈密顿雅可比方程的解，于是正则方程的求解又归结到从（7.31）式中求特征函数W的

11、问题了。通常采用“分离变量法”求（7.31）的解。,7.5 解题指导,（1）习题类型及基本解法,哈密顿理论的三个重力学方程（正则方程、哈密顿原理、雅可比方程）,主要用于建立体系的动力学方程，这是本章习题内容和类型。,基本解法：将体系的拉格朗日函数L或哈密顿函数H代入相应的方程即得,体系的运动微分方程。解起的要点和步骤是：, 析体系约束类型，主动力性质； 确定自由度，选择适当的广义坐标； 正确写出体系的L函数和H函数； 将L或H代入相应的哈密顿理论的动力学方程，并进行运算，可 得出体系的运动微分方程； 方程，出要求的量。, 范例,例1 用哈密顿原理建立开普问题的动力学方程。,解：用极坐标描述开普

12、勒问题较方便。自由度为2，以r，Q为,广义坐标，拉格朗日函数为,代入哈密顿原理表达式，得,例2 用哈密顿雅可比方程解开普勒问题。,解：开普勒问题能量守恒，其哈密顿-雅可比方程形式为,（1）,哈密顿函数,（2）,由,，代入（2）和（1）得哈密顿雅可比方程为,（3）,求出方程（3）的解，代入,（4）,可得,用,乘（3）式两边，并移项得,（5）,用分离变量法求解，令,（6）,将（6）代入（5）得,（7）,上式左边只是r的函数，右边只是的函数，要使其对任意的r、都成立，,只有当它们都等于同一个常量时才有可能。这个常量必为正值，因此把它用,来表示，由此可得,（8）,（9）,积分（8）式得,（10）,（9