第三讲分离变量法

1、第三讲 分离变量法,分离变量法是求解线性偏微分方程定解问题的普遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。 基本思想是将多元函数化为单元函数，将偏微分方程化为常微分方程进行求解。 具体做法是首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的解通过变量分离, 将其转化为常微分方程的定解问题. 为此，我们首先复习二阶线性常微分方程求解公式及傅里叶级数理论。,一、基础知识,2、傅立叶级数,若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里叶展开式为,狄利克雷收敛定理： 若函数在一个周期内连续或只有有限个第

2、一类间断点且在一个周期内至多只有有限个极值点，则 1、当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； 2、当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。,二. 有界弦的自由振动,例1. 研究两端固定均匀的自由振动.,求解定解问题,特点: 方程齐次, 边界齐次.,设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得,由 不恒为零，有：,取参数,. ,利用边界条件,则,特征值问题,下面分三种情形讨论特征值问题的求解,函数X(x)称为特征函数。,由边值条件,(i) 方程通解为,(ii) 时，通解,由边值条件得：,C1 =C 2=0 从而 ， 无意义.,无意义,由边值条件：,从而,即：,(iii） 时，通解,故,而,

3、得,再求解T：,其解为,所以,叠加,.,代入初始条件得：,将 展开为Fourier级数，比较系数得,定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。,则无穷级数解,为如下混合问题的解,解：令 , 得,化简:,引入参数 得,例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.,第二类边界条件,得C1 =C 2=0 从而 ，无意义,分离变量：,时，,由边值条件,(ii) 时, ,(iii) 时,则 而,由边值条件,由边值条件,从而,本征值,本征函数,T 的方程,其解为,所以,故,代入初始条件:,将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得,三.有限长杆的热传导问题,对于齐次

4、热传导方程的定解问题, 其解题过程和波动方程的过程类似. 所以下面的例题我们仅给出主要步骤.,其中 为给定的函数.,例齐次热传导方程的定解问题,令,代入方程及边界条件中, 并引入参数 得,当 或 时,当 时,由边界条件,从而,特征函数为：,T 的方程,解得,所以,将 叠加, 利用初始条件确定系数,将初始条件,代入上式，得,所以系数,分离变量流程图,例细杆的热传导问题,长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热， 端绝热， 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。,解：定解问题为,设 且,得本征值问题,当 或 时,当 时,由 得,由 得 故,即,令,有,函数方程,图 1,由图1看出，函数方程有成对的无穷多个实根,故本征值为：,对应的本征函数,的方程：,解为,故,可以证明,函数系 在 上正交,由初始条件得,（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解,（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到,（四）将 叠加，利用初始条件确定系数,（一）将偏微分方程化为常微分方程,（方程齐次）,分离变量法解题步