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1、2.4 可满足性问题与消解法,可满足性问题： 用于证明A是否永真 用于验证逻辑蕴涵 A1Ak B 永真 当且仅当 A1Ak B 永假 解决方法 真值表 主析取范式 主合取范式 缺点：计算量大,2.4 可满足性问题与消解法,无论是命题演算还是谓词演算，自然推理系统是比较便于使用的，但对于计算机实现来说，仍然过于复杂。 消解法,2.4 可满足性问题与消解法,分离规则 可改为 说明： 该规则要求“消去两个互补文字”。 “操作”特色 对第二种形式作如下的推广：,（1）,2.4 可满足性问题与消解法,设C1，C2为两个简单析取式，称为子句，L1，L2是分别属于C1，C2的互补文字对，用C-L表示从子句C

2、中删除文字L后所得的子句，那么消解原理可表示为： 其中C1,C2称为消解母式，L1，L2称为消解基，而(C1-L1)(C2-L2)称为消解结果。,2.4 可满足性问题与消解法,例：设C1为RPQ，C2为PQ 以P，P为消解基的消解结果是 RQQ 以Q，Q为消解基的消解结果是RPP 特别地，当C1，C2都是单文字子句，且互补时，C1，C2的消解结果不含有任何文字，这时我们称其消解结果是“空子句”（nil），常用符号 表示之, 空子句是永远无法被满足的。,2.4 可满足性问题与消解法,定理1： 设C是C1，C2的消解结果，那么C是C1和C2的逻辑结果。 说明 消解原理作为推理规则是适当的。 作为特

3、别情况，p与p的消解结果是 ， 实质上是pp的另一种表示形式,它们都是不可满足的。 给定一个合取范式S，S的所有简单析取式称为S的子句集。重复使用消解规则，可以的到一个子句序列。,2.4 可满足性问题与消解法,定义： 设S为一子句集，称C是S的消解结果，如果存在一个子句序列C1，C2 ，,Cn（= C），使Ci(i = 1,2, ,n) 或者是S中子句， 或者是Ck，Cj (k,j i) 的消解结果。 该序列称为是由S导出的C的消解序列。 当是S的消解结果时，称该序列为S的一个否证 （refutations）。,2.4 可满足性问题与消解法,定理2：如果子句集S有一个否证，那么S是不可满足的。

4、 分析：设C1，C2 ，,Cn（= ）是S的一个否证。若S可满足，即有某个赋值使S中所有子句为真，那么可对n归纳证明，使C1，C2 ，,Cn为真，从而( Cn ) = () = 1，导致矛盾。 证：n=1时，因C1S，显然( C1 ) = 1。 设对任意k n，( Ck ) = 1，考虑Cn 。若CnS，则应有 ( Cn ) = 1；若Cn 为Ci , Cj 的消解结果，而i,j n 。 据归纳假设， 有 ( Ci ) = 1，( Cj ) = 1，从而根据定理1可得 ( Cn ) = 1。,2.4 可满足性问题与消解法,说明： 如果子句集S是不可满足的，那么必定存在由S导出空子句的一个否证。

5、 我们可以利用消解原理作出S的否证，以证明S的不可满足性。,2.4 可满足性问题与消解法,例 设子句集S由以下四个子句组成： （1）pq （2）pq （3）pq （4）pq 证明S是不可满足的。 可如下作出S的否证： （5）q 由（1），（2）消解得 （6）q 由（3），（4）消解得 （7） 由（5），（6）消解得,2.4 可满足性问题与消解法,例： 求证 (pq)(pr)(pqr) 永真 。 证 S为上式的否定的子句集，S由以下子句组成： （1）pq （2）pr （3）p （4）qr 作出S的否证： （5）q 由（1），（3）消解得 （6）r 由（2），（3）消解得 （7）r 由（4），（5）消解得 （8） 由（6），（7）消解得 因此 (pq)(pr)(pqr) 为永真式。,2.4 可满足性问题与消解法,说明： 一般命题公式都可化成等值的合取范式 合取范式是不可满足的