KPZ方程的整体解与自相似解.ppt

1、KPZ方程的整体解与自相似解,答 辩 人： 专 业：数学与应用数学 指导老师： 日 期：5月25日,摘要,KPZ方程全称为KardarParisiZhang equation，此方程在数学和动力系统等方面有广泛的应用。本文我们主要探究的是广泛的KPZ方程的初值问题的整体解的存在唯一性，进而，在整体解存在的情况下探究自相似解是否存在 。,论文结构,一、引言,1.1、KPZ方程的背景 KPZ方程的全称是KardarParisiZhang equation ,人们是以它的创造者Mehran Kardar,Giorgio Parisi and Yi-Cheng Zhang的名字为此方程命名的，后简称为

2、KPZ方程. 20世纪末，著名的伊朗物理学家Mehran Kardar、意大利物理学家Giorgio Parisi 和 中国物理Yi-Cheng Zhang在麻省理工进行物理理论研究随机生长表面的大线度和长时间动力学性质时提出的一个非线性随机偏微分方程KPZ方程.,这个KPZ方程的最初形式是 (其中右边的第一项表示张力系数引起的表面松弛，第二项与表面前沿的侧向生长有关，为耦合常数，最后一项表示生长过程的随机性).,1.2、当前KPZ方程的研究状况 KPZ方程在物理学领域、数学领域以及生物学领域等诸多领域都有广泛的应用.其中应用最多的是物理理论学方面的研究和应用，例如在研究含有广义守恒律生长方程

3、的标度奇异性, 表面界面粗化生长动力学标度性质, 含时间空间关联噪声的非局域及各异向性等等问题时都广泛地应用了KPZ方程.KPZ方程的依然有很大的发展空间，也依然是物理学界炙手可热的话题.,1.3、本文探究KPZ的思想和方法 要讨论初值问题 的整体解的存在唯一性和自相似解的存在性，解此类问题思想是看成求映射空间“不动点”的问题，然后再利用压缩映射原理即可对方程解的存在唯一性做出很好的回答.,二、预备知识,定义2.1（自身映射）一个非空集合，任意的，存在唯一的，且使得，则成为一个自身的映射. 定义2.2 (映射的不动点) 设X距离空间，T：XX是X上的自映射，如果存在xX，使得x=Tx，则称x是

4、映射T的一个不动点. 定义2.3(压缩映射) 设X是距离空间，T：XX是X上的自映射，如果存在01，对x,yX，都有 (Tx,Ty)(x,y)， 则称T是X上的一个压缩映射。,定义2.4(用到的不等式) 令 这样假设可以简单的检验,定理2.1 (压缩映射原理) 设X 是完备的距离空间，映射T：XX是压缩映射，则T在X中存在唯一的不动点x, 即x=Tx. 定义2.5(自相似解)我们称为KPZ方程的自相似解,如果 定义2.7 （常用的范数）最常用的范数就是p-范数，若x=x1,x2,.,xnT，那么 =(|x1|p+|x2|p+.+|xn|p)1/p. .,三、KPZ方程初值问题的整体解的存在唯一

5、性 对于上述KPZ方程初值问题(1)的整体解的存在唯一性,我们给出了如下定理及其证明： 定理1(整体解的唯一存在性)：假设 ，且 , 设对任意小的，初值满足 则柯西问题（1）存在唯一的整体解.,证明：为了证明问题（1）存在唯一整体解，我们考虑算子： 首先我们要证明是自身到自身的映射. 问题（1）的解等价于下面的积分方程 ，* 故，我们可以研究*的整体解. 然后我们可以利用范数知识得到,是自身到自身的映射和压缩映射，根据压缩映射的原理，得问题（1）存在唯一不动点 再根据微分方程解的存在唯一性定理，可知问题（1）的整体解存在并且唯一. 故定理1得证.,四、KPZ方程的自相似解 由第二部分的定义可得

6、到,要使Cauchy问题(1)产生自相似解的必要条件是 ， 得 ， 即初值,定理2(自相似解)在定理1的条件下假设,令 则Cauchy问题(1)存在唯一的自相似解. 证明:利用参考文献的结论我们可以得到 故Cauchy问题(1)有唯一解,根据KPZ方程得结构可得,也是Cauchy问题(1)的解，由解的唯一性定理可得 即为问题（1）的自相似解 故定理2得证 .,通过这篇论文我们知道了判断整体解是否存在而且唯一的思想方法就是利用不动点理论证明KPZ方程的Cauchy问题的整体解和自相似解, 然后得出初值在某一特定范数充分小的前提下就可以得到它的整体解的存在性，并且在确定整体解存在的情况下就可以对这一类初值证明方程自相似解的存在性.,五、结论,致谢,首先感谢各位评委老师参加