第09章 极限定理

1、.第九章 极限定理第一节 大数定律一、依概率收敛1、定义：设与均为一维随机变量, 若,恒有 ，则称依概率收敛于,记作. 特别地 若退化分布为常数,那么记作. 若,则. 显然：,恒有.2、性质：设为维随机变量序列, 是在点连续的元实函数,若, 则.证明: 因在点连续,那么,当均成立时,记，从而 ， 又 ,于是 ,故 .二、依分布收敛精品.1、定义(1)设为分布函数序列,若存在,使在的每一连续点上都成立,则称弱收敛于,记作.(2)设与均为一维随机变量,若，则称依分布收敛于,记作. 特别地,若退化分布为常数,那么记作.2、两种收敛的关系(1).证明: 设与的分布函数分别为及.任取的连续点,那么 ,当

2、时, ,. 又因,故,当时, , . 因 ,有,； 又 ,有 ,. 这样 ,即 ,.(2) . 证明:“”由(1)知是显然的. “”设与的分布函数分别为精品. 与. . 因 , 有. ,取连续点满足. . 故.3、连续极限定理: 设为分布函数序列,为分布函数,、为相应的特征函数，则.三、大数定律1、切贝谢夫大数定律：设独立, (下同),若存在常数,使得,有(称为切贝谢夫条件),则.证明:因 ,那么,有 .特殊情况：(1)若独立,，,时,则.(2)若独立,时,则.(3)泊松大数定律：独立,则.证明: 因.精品.(4)贝努利大数定律：,则.证明:因,其中且独立,有(3)知: .2、马尔可夫大数定律

3、：设有,且(称为马尔可夫条件),则 .证明:因 ,那么,有 .3、辛钦大数定律：设独立同分布, ,则.证明:设有相同特征函数,因,知 ,那么 ，显然 为退化分布的特征函数.由连续极限定理知, .四、大数定律的充分必要条件设有,则.第二节 中心极限定理精品.本节约定，, .一、问题提出1、实践发现：一个随机变量是大量独立的影响微小的随机变量所形成,即,那么近似地服从正态分布,也就是说近似地有 , 或者 .2、高尔顿板试验模型英国生物统计学家高尔顿(galton)设计的试验模型如图所示自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等碰到下一排钉子时又是

4、如此最后落入底板中的某一格子因此，任意放入球，则此球落入哪一个格子预先难以确定但是实验证明，如放入大量小球，则其最后所呈现的曲线表现为正态分布曲线.3、机器模拟试验(高尔顿板试验模型). 机器模拟思路：(1) 设计10排钉子,有1000个小球；(2) 第个小球遇到钉子向左下落用0表示, 向右下落用1表示；这一步可通过调用机器函数模拟实现：.其中：为取整函数, 为取值于的均匀随机数.(3) 用表示完成下落10排钉子后10个取值的和,精品.可见为球最后落在的格子编号； (4) 再用机器自动统计分布情况可观察试验结果.二、林德贝尔格-勒维定理设独立同分布, ,则 .证明: 设 有相同特征函数, 因,

5、，知，,有 ,由于,那么 ，显然为的特征函数. 由连续极限定理知, .又因处处连续,故,即.三、德莫佛-拉普拉斯定理设,则.精品.证明: 因,其中且独立, ,则.四、林德贝尔格定理设独立，, .1、林德贝尔格条件： 若，恒有 .2、费勒条件：.3、林德贝尔格定理： 且满足费勒条件满足林德贝尔格条件.四、李雅普诺夫定理1、李雅普诺夫条件： 设独立, 若,使得 .2、李雅普诺夫定理： 设满足李雅普诺夫条件,则证明:只要林德贝尔格条件满足即可.精品. .五、近似计算1、近似计算公式: 设独立且满足中心极限定理条件,充分大,有(1)；(2).2、例例1已知一批灯泡寿命的,问至少取多少只灯泡才能保证平均

6、寿命超过小时的概率超过？解:令,则 ,精品. 查表可得: . 取即可.例2设第个寻呼员分钟收到呼叫次数,问名寻呼员分钟收到次呼叫的概率是多少？解: 令，那么.于是 .例3一万人参加保费为元的医疗保险.已知一年内一人患病的概率为,保险赔偿费为元,求保险公司保本的概率.解：已知，, 一年内患病人数,则保本的概率为 .例4 显像管生产正品率为,为至少保证以的概率生产一万台电视机，问至少生产多少只显像管？解：已知，, 生产只显像管中正品数. 至少保证以的概率使一万台用上正品显像管，那么 ,精品.查表得：.取 即可.第三节 林德贝尔格定理一、基本假设 设独立，,.(1)； (2) , (3) ,(4)

7、与分别为的特征函数和分布函数.显然 ,；,.二、两个条件1、 林德贝尔格条件：，有 . 林德贝尔格等价条件：，有 .证明: 由于,且有 精品. .2、费勒条件：.费勒等价条件： ，.证明:“”因，故 ； . “”，因，故,当时,有 ； ,对,当，,当时, ；这样时,有. 所以.二、引理1、引理1：,有.证明: 令 因 ,结论对成立.假设结论对成立.由于精品.,且,那么 . 故结论对也成立.2、引理2：，,有 .证明: 因，结论对成立. 假设结论对成立.那么 故结论对也成立.3、引理3：设为特征函数,则.证明: 由于,又, 于是 , 所以.4、引理4：.精品.证明: 已知. 又因 , 知 .2

8、因 ，所以 .3 由于,那么.5、引理5：在费勒条件下,.证明: 由于,即要证 或 . ,由于 ，(). 那么,当时, . 在费勒条件下，由引理4知,对于，,时 .精品. .三、林德贝尔格定理 且满足费勒条件 满足林德贝尔格条件.证明: “” 先证明费勒条件成立. 由于，有.于是,当时, .那么 ,于是 , 所以. 再证明. 因处处连续,即要证. 又由连续极限定理知，只证, 由及引理5,仅证.精品.因 , , 而 , 从而 ，必,使. 又因 ， 必,时,有 . 由引理1知 , . 这样, . . 所以 . “” 已知 .精品. 而 这样 ,取,那么， , 于是 .第四节 连续极限定理一、海莱第

9、一定理1、引理：设为分布函数序列, 在上有定义，在中处处稠密, 若,恒有,则.证明：任取连续点，因在处处稠密，则,当 且时,有 ,.又因,则,使得 当时，有 ,.从而，即 . 所以精品.2、海莱第一定理：任一分布函数列必有一子序列 ,且不减右连续, , , 因此有界.证明：(1)令有理数集合.对于，有界 ,必有收敛于某数的子序列；对于，有界 ,必有收敛于某数的子序列；对于，有界 ,必有收敛于某数的子序列；依此类推，得到 ,； ,； ； ,； 这里每行都是上一行的子序列,且.按对角线法选取的子序列,，由于 , 均来自子序列 ,因,故.再定义,由于在上成立,又在上处处稠密,则.(2) 其次证明不减

10、, , 若，因,有精品.； 若,那么由的定义,有； 若,那么,必,使得 ， 这样,让,得； 若,必,那么. 故,有,即不减.(3) 再证明, .在中取单调递增,由于,且，有.,必,使得 , 可见有界.因不减，故及都存在,因此,.(4) 最后证明右连续.,因单调有界,故存在.,必,使得, ,这样 ，即右连续.二、海莱第二定理1、海莱第二定理：设在上连续, 分布函数列 ,在连续,则 .证明：由条件知非减,因此的连续点在上处处稠密,且在连续,这样 ,.精品.又在上连续,则有上界,且在上一致连续,那么,存在的一个分割: ,且为的连续点,使得 ,.作辅助函数，,.这样 ,.因,故,使得 当时， .由于

11、, , . 从而 . 所以 .精品.2、拓广的海莱第二定理：设在上有界连续, 分布函数列 ,且,则 .证明: 因有界,故使得,又,故,存在的两个连续点,使得 ，.又因由条件知 ,且 ,则,使得 当时， ,同时有 , , 那么 , , 从而 . 所以 .精品.三、连续极限定理(勒维-克拉美定理)1、正极限定理：设分布函数序列,为分布函数,、为相应的特征函数，则 ,且在的任一有限区间内收敛是一致的. 证明: 因函数在上有界连续,而 , 由拓广的海莱第二定理知，. 而“在的任一有限区间内收敛是一致的”,可将海莱第二定理及拓广的海莱第二定理比照着逐一再证明即可.2、逆极限定理：设具有分布函数的特征函数序列,且在连续, 则存在分布函数,使得，且为的特征函数.证明:(1)由海莱第一定理知,分布函数序列必有一子序列,且有界不减右连续,同时.下面(2)(4)证明.即证明了是分布函数.(2) 若在连续,且则. , 当时,有,于是,这样.(3) ,且精品. ,.任取连续点,有 .又因,且在上可积,由控制收敛定理知 .于是让,有 .(4) ,使得, ，让,