复合函数定义

1、复合函数定义：设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域Dg中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=fg(x)称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量（即函数）。生成条件不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当=(x）的值域存在非空子集Z是y=f(）的定义域Df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。定义域若函数y=f(u）的定义域是B,u=g(x）的定义域是A,则复合函数y=fg(x)的定义域是D=x|xA,且g(x）B 综合考虑

2、各部分的x的取值范围，取他们的交集。求函数的定义域主要应考虑以下几点：当为整式或奇次根式时，R；当为偶次根式时，被开方数不小于0（即0）；当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为

3、非空集合。对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。周期性设y=f(u)的最小正周期为T1,=(x)的最小正周期为T2,则y=f（）的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+）增减性依y=f(u)，=(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”判断复合函数的单调性的步骤如下：求复合函数定义域；将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；判断每个常见函数的单调性；将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；求出复合函数的单调性。例如：讨论函数y=0.8(x2-4x+3)的

4、单调性。 解：函数定义域为R。令u=x2-4x+3,y=0.8u。指数函数y=0.8u在（-，+）上是减函数，u=x2-4x+3在（-,2上是减函数，在2,+）上是增函数， 函数y=0.8(x2-4x+3)在（-,2上是增函数，在2,+）上是减函数。利用复合函数(composite function)求参数取值范围求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。求导复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导法则1：设u=g(x)f(x)=f(u)*g(x)法则2：设u=g(x),a=p(u)f(x)=f(a)*p(u)*g(x)例如：1、求：函数f(x)=(3x+2)3+3的导数设u=g(x)=3x+2f(u)=u3+3f(u)=3u2=3(3x+2)2g(x)=3f(x)=f(u)*g(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)22、求f(x)=(x-4)2+25的导数设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25f(a)=af(a)=1/(2a)=1/2(x-4)2+25p