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1、第六章 多元函数的微分学一、考试要求二、二元函数的概念1. 二元函数的概念引例 圆柱体的体积和它的底半径、高之间具有关系 .这里, 当在集合内取定一对值时, 的值就随之确定. 即依赖于和的变化而变化定义1 设有三个变量和,如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时,变量按照一定的规律总有唯一确定的值与它们对应,则称是 的二元函数记为,其中称为自变量,称为因变量自变量的取值范围称为函数的定义域个人收集整理 勿做商业用途二元函数在点所取得的函数值记为 例1 设 ,求 解 = 2二元函数的定义域 同一元函数一样,定义域和对应规律是二元函数定义的两要素对于以算式表示的二元函数,其定义域就是使算式有意义的

2、自变量的取值范围个人收集整理 勿做商业用途例2 求二元函数的定义域。解 由函数的要求可知,函数的定义域为。例3 求二元函数 的定义域。解 由对数函数性质可知,必须满足。三、二元函数的偏导数在研究一元函数时，从讨论函数的变化率引入了导数的概念.对于多元函数，我们也常常遇到研究它对某个自变量的变化率问题，这就产生了偏导数的概念.个人收集整理 勿做商业用途1. 偏导数的定义定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，当固定为，而在处有改变量时，相应地函数有改变量（称为偏增量） 如果极限 存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为 或类似地，当固定不变时，函数对的偏导数为= 如果函数在区域内每一点处对（或

3、对）的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是,的函数，称为对（或对）的偏导函数，记作（或）.通常把偏导函数简称为偏导数.个人收集整理 勿做商业用途偏导数的求法从偏导数的定义可以看出,求二元函数的偏导数,并不需要建立新的方法在求二元函数对某个自变量的偏导数时,把这个自变量看作变量,另一个自变量看作常量,再运用一元函数的求导法,求出偏导数 个人收集整理 勿做商业用途 例4 求函数在点处的偏导数解 将看作常量，对求导，得 ；将看成常量，对求导，得 故； 例5 设 ，求 解 求对的偏导数时，把看成常数，是幂函数，则有 求对的偏导数时，把看成常量，是指数函数,则有 .3. 二阶偏导数 如果函数的两个偏导数，仍然是,的函数,且关于,的偏导数存在，则称它们为的二阶偏导数依照对变量的不同求导次序，有四个二阶偏导数：记为 ; ; ; 或其中及称为二阶混合偏导数例6 求函数的所有二阶偏导数解 因为， 所以 ； ； 容易发现， ，这个结论在一般情形下均成立。所以，求二阶混合偏导数与求导的顺序无关.解 四、全微分

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