大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用

1、大学数学与中学数学的关系及其对中学数学教学的作用【摘要】大学数学专业的主要任务是培养合格的中学数学教师,然而在大学数学的教学活动中,常常有学生向教师提出:“大学数学在中学数学教学中用不上”,甚至有的中学教师也持此种看法。这不仅影响了大学数学专业学生学习大学数学的主动性也挫伤了一些在职教师教授、进修大学数学的积极性。让此看法漫延,无疑将影响我国的数学教育工作。我们认为,持此类看法的大学学生和在职教师,恰恰是对数学的理解比较肤浅,对大学数学课对中学数学教学工作的指导作用认识不够所造成的;另一方面也使我们大学教师认识到,应当努力改革大学数学课的教学工作,提高学生对大学数学课对中学数学教学的指导工作的

2、认识。【关键词】大学数学 中学数学 联系 指导作用.University mathematics relationship with the middle school mathematics and its effect on middle school mathematics teaching【Abstract】The main task of mathematics in normal universities is to cultivate qualified middle school mathematics teachers, in college mathematics teac

3、hing activity, however, often have a student asked the teacher: not in the middle school mathematics teaching in higher mathematics, and even some middle school teachers also hold this view. This not only affects the initiative of student learning of mathematics in normal universities of higher math

4、ematics professor also dampened some in-service teachers, study the enthusiasm of higher mathematics. Let this view, will undoubtedly affect our countrys mathematics education work. We believe that with the view of college students and teachers, it is the understanding of mathematics is superficial

5、and math in middle school mathematics teaching in the normal universities work caused by the guidance to know enough; On the other hand also to make our college teachers realize that should strive to reform college mathematics teaching, improve students math in middle school mathematics teaching in

6、the normal universities guidance work【Key words】University mathematics middle school mathematics guiding function connection.目录1. 引言52 初等数学与高等数学的联系5 2.1初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系6 2.2 知识方面的联系8 2.3 思想方面的联系83 大学数学教学与中学数学教学的主要差异9 3.1内容上的差异9 3.2教师教学方法上的差异9 3.3学生学习方法上的差异94 高师数学课对中学数学教学的指导作用10 4.1 从初等数学与高等数学的联

7、系看高等数学对中学数学教学的指导作用10 4.2从教师素质看高等数学对中学数学教学的指导作用10 4.3从数学教育教学的研究看高等数学对中学数学教学的指导作用11 4.4从中学数学的教学过程看高等数学对中学数学教学的指导作用125 数学分析课程对中学数学教学的指导作用12 5.1 数学分析为中学数学中的一些问题和方法提供了理论依据12 5.2 数学分析的学习有助于记忆公式，证明等式，研究变量关13 5.3 用高观点分析和处理中学数学中的一些问题13 5.4用数学分析的理论和思想指导，编拟中学数学练习题136 总结13参考文献141 引言近几年来大学师范院校数学系的不少大学生对学习大学数学存在不

8、少看法如“现在学的大学数学好像与中学数学没有多大联系”,“学习大学数学对今后当中学数学教师作用不大”,有的甚至提出“大学数学在中学教学里根本用不上”等等.这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样“新的大学生一入学就发现他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，但是毕业以后当了老师，他们又突然发现要他们按老师的教法来教传统的中学数学，却由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，却对他们对教学毫无影响.”然而现在在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，这可以说是数学发展的一

9、种必然趋势，所以现在的中学数学教师必须掌握大学数学的基础知识以适应数学发展和教材改革.所以大学数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了.2 中学数学与大学数学的联系 一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”).无论何种方法都把第二发展时期叫做“初等数学时期”这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)

10、的经典分法所谓初等数学就是指常量数学,高等数学就是指变量数学,并把笛卡尔(RDescartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志,而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学,视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学.当然由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象两者没有严格的概念区别.事实上,数学科学是一个不可分割的整体,它的生命力在于各部分之间的有机联系,只从学科表面上看难以看清两者之间的内在联系,

11、这就需要深入研究初等数学,理清其中最基本的思想和方法,努力寻求初等数学和高等数学的结合点.2.1 初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作是一个值得研究的课题.俗话说，站得高才能看得远.因此笔者认为,作为中学教师除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外,还应善于用高等数学方法解决中学数学问题,特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.下面略举几例说明.例1.证明:当时，有不等式. 证明 :

12、设 令 ，即，解得驻点，且，有，有，知函数在点取极小值，其极小值为 由于在上连续，且只有一个极小点，因此这个极小点就是最小点，则，有 . 令，于是， 即 例2.已知数列解：设 . （1）显然 当.当.对（1）式两边关于求导，得.从而 故的原函数为 . （2）将 解此方程组，得并将其代入（2），且令，有 即 高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题,它常能起到以简驭繁并能使问题得以深化和拓广的作用.以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解决初等代数和初等几何且收到了很好的效果.在教学过程中结合具体内容不失时机地介绍给学生对于丰富学生的解题方法特别是作为教师在将来的数学教学中用它

13、来预测答案确定初等解法的路线构造习题检验结果都有重要的作用。2.2 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高它能解释许多中学数学未能说清楚的问题如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等从以下几个方面说明首先中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上接着讲多项式的整除理论,最大公因式理论.中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义,接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定.中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求

14、解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义,复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数实系数一元n次方程根的特点,有理系数一元n次方程有理根的性质及求法,一元n次方程根的近似解法及公式解简介.中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法,高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子,中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子,中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.2.3 思想方面的联系中学数学思想和方法主要

15、体现为三个层次第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等,几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式；第二层次指适用面很广的一些“通法”如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等

16、；第三层次指数学观念即人们对数学的基本看法和概括认识如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化.高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法,第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法,在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练.除上述所举的思想和方法外,高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等现代中学数学

17、和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学形成和发展学生的数学思想和方法,会用数学思想和方法来解决问题.3 大学数学教学与中学数学教学的主要差异3.1 内容上的差异 大学数学较之中学数学,其概念更具抽象性.中学数学是常量数学,它所研究的对象基本上是常量关系和平面,空间的直线形与简单的曲线、曲面,其概念较为简单、直观,容易被接受理解.大学数学是变量数学,研究的对象是客观世界中更为广泛、抽象的空间形式与数量关系,很多概念较为抽象,难于理解.大学数学理论更为坚深,纵横联系更为紧密、广阔,应用更具有广泛性、综合性.中学生一般听课后就能做作业,而大学生仅把课堂内容听懂了,不一定就能做作业,只

18、有融会贯通之后才能完成作业.3.2 教师教学方法上的差异 中学数学教师非常重视课堂教学,讲究,用生动、形象的语言吸引学生.每堂课基本上采用边讲边练边讨论的方法,讲授的内容较少,在讲了典型例题和方法之后,一般安排相同类型的习题,让学生当堂掌握、巩固,对概念、理论较少作详细讨论和拓广.特别近几年一些中学为了追求升学率,教师都将知识嚼得细细的,然后一口一口喂给学生,搞题海战术,使学生的主观能动性受到压抑,造成高分低能现象.而大学数学教师在课堂上基本上是满堂灌,与学生讨论少,讲授的内容多.教师在知识的深化、拓广上下的功夫较多,非常强调数学语言的准确性.对概念的讨论、定理的条件和结论以及严格论证都比较重

19、视,而对语言的形象化、板书等考虑得少一些,许多问题留给学生自己考虑,给学生的自学留下了很大的余地.3.3 学生学习方法上的差异 中学生一般不做数学笔记,很少读书,上课只注意听讲,然后是完成老师布置的作业.采用的是“背”(即背公式和定理)和“套”(即做题套公式或例题)的学习方法,很少作前后内容的相互联系、比较,对老师的依赖性很大.大学生的学习则主要由自己完成.课前做好预习,课堂上抓住重点、难点,做好笔记,课后搞好复习,通过反复阅读教材、参考书,加深对概念和定理的理解和掌握,善于在学习中摸索规律,寻求适合自己的学习方法,逐步培养较强的独立工作能力.4 高师数学课对中学数学教学的指导作用4.1 从初

20、等数学与高等数学的联系看高等数学对中学数学教学的指导作用 一般说来,中学数学课中的数学内容属于初等数学,大学数学课中的数学内容属于高等数学。它们既有区别又有联系,更是不可分割的。初等数学的内容是十七世纪以前人类所创造的数学成果。其主要内容是算术、初等代数、初等几何以及三角学等。高等数学的内容是十七世纪以后发展的近现代数学。从数学发展的历史看,由于人类受其认识力所限夕就其创造的初等数学内容和方法,表现为形而上学的、静止的、孤立片面的,正如恩格斯所指出的:“由于笛卡尔变量的发明,辩证法和运动进入了数学领域,而这立即引起无穷小概念的发展”。从这种意义上讲,高等数学是数学的高级形态,它的内容和方法更抽

21、象且对事物的认识更深刻、更本质,对客观事物的运动规律描述得更准确。例如,圆面积公式、球面积公式、球体积公式以及描述物体运动的速度与加速度等都只有在高等数学中得到圆满解决,因为都要用到极限思想。日本数学家米山国藏指出:“离开极限思想初等数学内容便所剩无九了”。可见初等数学是粗糙的,也是没有多少实际用场的。高等数学与初等数学是一般与特殊的关系,一般概括了特殊但又寓于特殊之中,高等数学方法更能反映一般物质的运动过程:而特殊性构成了各种不同物质运动的特殊本质。为了有效地描述事物的静止状态,又必须掌握初等方法,因此初等数学也是不可忽视的,没有它也就不可能产生高等数学。由上可知,无论是传道、授业、解惑的传

22、统教师,还是引导学生进行数学活动的现代教师,都必须学习高等数学、深谐高等数学的内容、精神、思想和方法。很难想象连圆面积公式的来龙去脉都不知道的人,能成为一个优秀的中学教师,至多是一个对中学数学知识、内容和解题方法比较熟悉,只能将教材内容较为准确地_转告给学生的教师罢了,所造就的学生恐怕也只能是背诵概念、解题的机器。4.2 从教师素质看高等数学对中学数学教学的指导作用 人们常说:“师高弟子强”,只有高水平的教师才能培养出高水平的学生,只有高素质的教师才能培养出高素质的学生。而教师素质包括从事教学所必备的素质和专业素质,就数学教师而言,这种专业素质表现为:有一个合理的高效能的知识结构和良好的智能结

23、构。下面我们从知识结构和智能结构来谈谈高师数学课对中学数学教学的指导作用。我们知道,教师应具备广博的知识,实际上要求教师应具备一个良好的知识结构,而一个合理的高效能钓知识结构应有一个核心,保护层知识及最外层的常识性知识。就数学教师而言,数学、教育学和心理学是核心,哲学、美学、计算机科学、系统论、信息论、控制论等是保护层历史、文学艺术、社会学等是最外层的常识性知识,这样既有助于生活,也有助于创造性地从事数学教学活动。鉴于高师院校的学制年限,高师院校不可能通过教育给学生形成一个完整的知识结构夕通常只能给学生一个合理的高效能的知识结构的内核夕学生可围绕这个知识结构的内核通过自学和其它形式的学习活动而

24、获得。由于数学教师知识结构的内核由数学、教育学和心理学构成,而数学可以说是核心的核心。由于初等数学的内容和方法是不系统的、粗糙的,这就决定了居数学教师知识结构核心地位的数学不能由初等数学来承担,事实上数学知识本身也有一个知识结构的问题,它包括数学基本理论类、数学史数学哲学类和数学教育类。总之,数学教师的数学知识起码要求就是对初等数学中的问题的来龙去脉都必须知道。我们不妨考察一下中学数学中的代数式及解方程的内容,这两方面的讨论在中学都是不系统的、不全面,只有在高等代数中才能较为系统地研究它们夕并用统一的方法去处理它们,因而才能解决初等数学中无法讲或只能含糊讲的问题。举几个简单例子:如在复数域、实

25、数域和有理数域上分解因式,什么时候才算分解到了最后呢?在中学教学中是无法给学生讲述清楚的,但做为教师,却不能不清楚复数域、实数域和有理数域上的不可约多项式的形式以及判别方法吧。又如对数的认识,是一个无理数,其反证法在中学数学中有所论及,但用同样的方法是否可以证明、n(p为素数)也是无理数吗?再如(一1)(一1)为什么等于1呢?象这样的问类,虽然学生不一定提到,但做为教师是不是应该清楚呢重所有这些例子说明数学教师的数学知识不能仅有初等数学知识,他必须学习一定的高等数学知识。那么是不是只学习对中学知识有用的零散的一些高等数学知识就够了呢?我们认为象这样实用的想法同样是行不通的。 数学的发展告诉我们

26、,数学有其自身的发展规律,特别是数学发展到今天,已形成了一个具有几十个甚至上百个分支的庞大科学体系,而每一个分支可以说都是一个特别的演绎体系,有其自身的思想和方法,任何想把“有用知识”独立.出来的想法都是行不通的,只有一步一个脚印地从最基础的理论开始,系统地学习它。如球的体积公式不系统地学习数学分析能认识吗?显然不行,只有我们系统地学习高等数学并融汇贯通各门数学知识,才能理解数学的精神、思想和方法,才能“看清”初等数学知识,这也是高师数学专业必须学习十几门数学课的原因所在。而且一个好的数学教师还应该树葵心终身教育的思想,活到老学到老,不断丰富更新自己的数学知识结构。,另一方面就是数学教师应有一

27、个良好的智能结构。一般说来,一个合格的中学数学教师的良好智能结构包括如下一些能力:敏锐的观察能力,高度发展的思维能力孚良好的想象力,以及数学表达能力(口头和书面的),数学审美能力、自学能力、组织管理能力、科研能力等,而数学活动是人类的精神活动,数学成果是人类最高超的智力成就,因此数学材料包含着丰富的智能价值。但是应当看到数学的发展实际上也受到人类认识力的限制,正因为如此初等数学中所反映的观察力、思维力和想象力都是初级的。就思维力而言,良好的思维力应有如下一些特点:目的性、广泛性、深刻性、批判性、创造性、条理性、灵活性和敏捷性,思维力的这些特性的培养能否通过初等数学来培养呢?我们认为由于初等数学

28、的内容和方法是形而上学的、静止的、孤立的,它们一般是不可能提供上述特性的。从这个意义上讲,只有通过学习高等数学,才能提高中学数学教师的思维力,因而才能提高中学数学教师的智能。从上面不难看出,要具备一个合格中学数学教师的素质,必须学习高等数学。4.3 从数学教育教学的研究看高等数学对中学数学教学的指导作用 中学数学教育教学研究包括两个方面的内容:对教材所载的数学材料的教育价值的研究以及怎样才能在教学过程中有效地、高效率地实现这些数学材料的教育价值。而数学的教育价值包括知识价值、智能价值和思想教育价值三个方面,它是我们在备课中制定教学目的基础,一般说来,一个数学材料的知识价值容易理解,而对数学的智

29、能价值与思想教育价值却要求教师必须深谐数学的创造与发展过程,以及在数学创造过程中所表现出来的人类精神活动的种种特征,深刻理解数学的思想和方法,所有这些都要求从事数学教学的教师具有很高的数学造诣。日本数学家米山国藏的名著数学的精神、思想和方法,井中、沛生的从数学教育到教育数学以及张景中的数学家的眼光都是这方面的典型例子。4.4 从中学数学的教学过程看高等数学对中学数学教学的指导作用 数学教学过程是实现中学数学教学目的的根本途径。而中学数学教学目的包括传授知识、发展智能和提高思想等三个方面的内容,首要的是要发展学生的智能。这就决定了中学数学教学过程中教师不再是按部就班地、机械地传授知识,而是努力实

30、现智能化、创造化、审美化,因而数学教师的劳动是一种创造性劳动。苏联数学教育家AA斯托利亚尔指出:“数学教育是数学活动的教育”。随着教育改革的深入,这一现代数学教育观也日益深入人心,在这种教育观念下,数学教学过程便是教师引导学生从事数学活动夕它要求学生参与到数学教学过程中从事一定的数学活动。这一教学过程观就是要求数学教师从“主要演员”角色逐渐变成“编剧”和“导演”,并在一定程度上仍充当“主演”角色,然而无论是作“编剧”、“导镇”和“主演”都要求中学数学教师必须具备很高的数学素质和数学修养。“编导”和“演奏”得好不好将直接影响到自己的学生,正如一位数学教师所说:“一个数学教师就象一个独奏表演者,凭

31、着自己的理解、领会和功力去演绎音乐作品,但要演绎得美妙,表演者本人必须先了解作品。所以不论你喜欢也好,不喜欢也好;自觉也好,不自觉也好;你对数学的看法一定流露反映于教学中。这说明了数学本质的探讨虽是哲学上的问题,却并非与日常教学毫不相干的。一个把数学看成单单是工具的教师,他只会给出大量的公式和刻板的例题;一个把数学看成单单是逻辑体系的教师,他会依循一种有条不紊却异常乏味的“定义一一公理一一定理系”方式去教授;一个把数学看成单单是智力游戏的教师,他会偏爱刁钻难题而忽视基本功夫;一个认为数学除了包括以上各方面外还有更丰富内涵的教师,他的教学风格自然有别”。此看来,一个数学教师除了要有必备的专业知识

32、和良好的智能外,还应对数学有深刻的认识,由于初等数学和高等数学的区别和联系不难看出,只材努力学习高等数学才可能不断提高对数学的认识,从这个意义上讲,在高师数学过程中学到的数学知识还是不够的,有可能的话,还应努力学习一些现代数学知识,不断从数学学习中吸取营养,充实自己,努力实现教学过程的最优化。 综上所述,我们看到高等数学对中学数学教学是具有指导作用的,那种认为高等数学在中学数学教学中用不上的观点是站不住脚的。需要指出的是:高等数学对中学数学教学的指导作用不是说高等数学对中学数学教学有何直接作用,而主要是指高等数学对中学数学教学有着不可估量的间接作用,正是这种间接作用是每个中学数学教师不可缺少的

33、。5 数学分析课程对中学数学教学的指导作用5.1 数学分析为中学数学中的一些问题和方法提供了理论依据 比如说，在中学数学中，要作出函数的图像，除了利用极易判断出来的函数的单调及可明显看出的一些极值点等性质外，最主要还要依靠描点法做出函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形，是无法肯定的。另外，可能还会有学生会问，为什么描绘出来的图像时一条平滑的曲线？在坐标系中应该描出哪些点作出的图像更准确？中学教材本身并不能回答这些问题。学了数学分析就知道中学阶段所学的几个函数都是基本初等函数，而基本初等函数在其定义域内是连续可微的，所以它的图像不仅是连续曲线而且在每一点都有切线，故可用平滑曲线连接。在数学分析中，则可利用导数判断出函数的单调性、凹凸性，求出极值点和拐点，再利用极限求出渐近线，再描出极值点、拐点，、与坐标轴的交点等“关键点”，把描出的点用平滑的曲线连接起来，即可精确地画出函数的草图。中学数学教师在讲授上述这些内容时，则可先用数学分析的方法求出答案，做到心中有数，然后再根据中学数学知识，结合学生的实际情况，设计出既不违反科学性，又有利于后续课程的学习，且最易为学生接受的最佳教学方案，这样必能收到理想的教学效果。5.2 数学分