数学史的第一讲.ppt

1、第一讲 数学的起源与早期发展,1.1 数与形概念的产生,原始人在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异通过一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼、一棵树之间存在着某种共通的东西，即它们的单位性,审美意识的萌芽,形的概念形成,人类生活与生产实践的需要,有-无,多-少,对应原则,实物计数,口头计数,数字,结绳 书契 掐指,记数,语言产生,文字产生,记数法,自然物形状的意识,算术,自然模似,思维发展,语言产生,文字产生,瞎子放羊的故事,数学的起源,手指计数（伊朗，1966）,正如亚里士多德早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，只不

2、过是我们绝大多数人生来具有10个手指这样的一个解剖学事实的结果.因此，虽然在历史上手指计数即用5或10的计数实践比二或三的计数出现要晚，但五进制和十进制却几乎一律地取代了二进制或三进制.,数学的起源,结绳计数,中国古代文献周易系辞下 “上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。 （书契：记号、文字）,结绳计数（秘鲁，1972）,数学的起源,古代南美印加部落用来记事的绳结基普（quipu）,数学的起源,迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，是1937年在捷克摩拉维亚地方出土的一块幼狼胫骨，距今约3万年前。 又经历了数万年的发展，到距今大约五千多年前，终于出现记数以及相应的记数系统。,数学的起源,文字50

3、00年 (伊拉克, 2001),数学的起源,与算术的产生相仿，最初的几何知识则是从人们对形的直觉中萌发出来的。史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并在器皿制作、建筑设计、绘画装饰中加以再现。 早期人类的几何兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的运用。,数学的起源,西安半坡遗址构形,数阵之一三角形数（数与形的联系）,数学的起源,数学的起源,经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩展，不过在不同的地区，几何学的这种实践来源方向不尽相同。 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量；古代印度几何学的起源则与宗教实践密切相关；古代中国的几

4、何学则更多起源于天文观测。,1.2河谷文明与早期数学,古代埃及 古巴比伦 古代印度（单讲） 古代中国（单讲）,历史学家往往把起源于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江，印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。从可以考证的史料看，古埃及与美索不达米亚的数学在年代上更为久远，只是在公元前均告衰微，崛起稍晚的中国与印度数学则延续到纪元之后并在中世纪臻于高潮。因此为叙述连贯起见，我们在本章中主要介绍古埃及与美索不达米亚的数学，而将古代中国与印度数学放到中世纪的章节中一并讲述。,（1）古代埃及的数学,古代埃及地图,古代埃

5、及的数学,埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3100年左右开始出现初步统一的国家。 1、古王国时期：前2686前2181年。埃及第一个繁荣而伟大的时代，开始建造金字塔。 2、新王国时期：前1567前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚、非两洲的大帝国。 直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。 埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。,古代埃及简况,古代埃及的数学,吉萨金字塔(公元前2600年) （刚果，1978）,古代埃及的数学,莱茵德纸草书,莫斯科

6、纸草书,古代埃及的数学,这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书主体部分由84个问题组成，莫斯科纸草书则包括了25个问题。这些问题大部分来自现实生活。这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。,古代埃及的数学,在莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中，象形数字被简化为僧侣文数字。 冗长的重复记号被抛弃了，引进了一些表示数字与10的乘幂的倍数的特殊记号。,在青铜时代，随着社会的进步和经济的发展，分数的概念与分数记号也应运而生。 单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。他们将所有的正分数都表示为一些单位分数的和。,古代埃及的数学,埃及人最基本的运算是加法。乘法运算是通过逐次加

7、倍的程序来实现。在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，即除数取代了被除数的地位被拿来逐次加倍。,古代埃及的数学,莱茵德纸草书中有些问题显示了埃及人运用加倍程序与单位分数概念而展开的熟练的计算技巧。 纸草书中有些问题可以被归之于我们今天所说的代数学的范畴，它们相当于求解形如x+ax=b或x+ax+bx=c的一次方程。在解这一类方程中，纸草书的作者所用的解法实质上是一种算术方法“假位法”。（何为假位法？）,古代埃及的数学,古代埃及的数学,埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学

8、。 古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约于公元前2900年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达146.5米，塔基每边平约宽230米，任何一边与此数值相差不超过0.16米，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中卡尔纳克的神庙主殿总面积达5000平方米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米。这些宏伟建筑的落成，也离不开几何学知识。,古代埃及的数学,莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。 现存的纸草书中还可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式。,古代埃及的数学

9、,埃及人对圆面积给出了很好的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形面积。如果与现代公式 相比较，就相当于取值为 。 他们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。,古代埃及的数学,埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书的第14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于： 这里h是高，a、b是底面正方形的边长。这个公式是精确的，并且具有对称的形式。在距今四千年前能够达到这样的成就是令人惊讶的。因此，数学史家贝尔称莫斯科纸草书中的这

10、个截棱锥体为“最伟大的埃及金字塔”。（在英文中棱锥体和金字塔是同一个单词：pyramid）,古代埃及的数学,埃及数学是实用数学。古埃及人没有命题证明的思想，不过他们常常对问题的数值结果加以验证。 另外，虽然纸草书中的问题绝大部分是实用性质，但也有个别例外，例如莱茵德纸草书第79题：“7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特”。 有人认为这是当时的一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为纸草书作者赋予不同幂次的名称，即房子表示一次幂，猫表示二次幂，等

11、等。无论如何，这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题，带有虚构的数学游戏性质。,埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。,古代埃及的数学,（2）美索不达米亚的数学,古代

12、巴比伦地图,两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。 古巴比伦王国：前1894前729年。汉穆拉比（在位前 1792前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的汉穆拉比法典。 亚述帝国：前8世纪前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔市）。 新巴比伦王国：前612前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604前562）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成巴比伦“空中花园”。 公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比伦王国。,美索不达米亚简况,美索不达米亚的数学,巴比伦泥板和彗星 （不

13、丹，1986）,美索不达米亚的数学,苏美尔计数泥版(文达, 1982),美索不达米亚的数学,大多数文明普遍采用十进制，但美索不达米亚人却创造了一套以60进制为主的楔(xie)形文字记数系统。 美索不达米亚人的记数制的巧妙之处，是同一个记号根据它在数字表示中的相对位置赋予不同的值，这种位置原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。,美索不达米亚的数学,美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形文字之处还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。美索不达米亚人对分数跟对整数一样能够运用自如，而不像古埃及人那样受着单位分数的束缚。,美索不达米亚的数学,美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统

14、有关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧，他们创造了许多成熟的算法。 美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。,美索不达米亚的数学,美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度。埃及数学主要是讨论线性方程和最简单的二次方程。而来自古巴比伦时代的一些泥板书则表明，巴比伦人已经能卓有成效地处理相当于一般的三项二次方程。,美索不达米亚的数学,古埃及人没有留下解三次方程的记录，美索不达米亚泥板书中却不乏三次方程的例子。像x3=a这样的纯三次方程，主要是通过查立方表或立方根表来求解。形如x3+x2=a的混合三次方程也是藉现成的表来求解。对于更一般的三次方程，巴比伦数学

15、家运用了代换的方法求解。 在没有现代符号的情况下，能够认识到方程(ax)3+(ax)2=b与方程y3+y2=b本质上属于同一类型，这种初等的代数变换思想，在当时是了不起的成就。,美索不达米亚的数学,美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算。美索不达米亚学者已掌握三角形、梯形等平面图形和棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积的公式。他们还知道并利用图形的相似性概念。,美索不达米亚的数学,公元前1000年左右的泥版，显示毕达哥拉斯定理的证明,美索不达米亚的数学,即使是古巴比伦时代的泥板书也都说明勾股定理在当时的美索不达米亚地区已广泛使用。,泥版楔形文,普林顿322号,美索不达米亚的数学,有一些泥板书表明美索不达米亚数学的发展不光是实用的动机，还表现出理论兴趣。(如普林顿322号泥板书中的“勾股数组”),总的来说，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期