D31微分中值定理

1、第三章,中值定理,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,导数：函数在某一点处的变化率,微分中值定理：从局部性质推断总体特性的工具,引言：,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,1. 费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,有,若,则,注: 几何意义: 若曲线,设,在,点,具有极值, 并且在该点的切线存在, 则该切线必为水平的, 通常称导数为0的点为函数的驻点.,2. 罗尔（

2、Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,若,注: 几何意义: 在每点都有切线的一段曲线上，若两,端点高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线,定理条件有一个不满足, 结论不一定成立.,例如,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的正,实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由零点定理知至少存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,(1) 在

3、区间 a , b 上连续,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,作辅助函数,显然 ,在a, b 上连续,在(a, b)内可导,且,证:,问题转化为证,拉氏,满足:,若,由罗尔定理知至少存在一点,注: 当,时, Lagrange中值定理就变成了,Rolle中值定理., 几何意义: 在(a,b)内，曲线上至少有一点处的切线平,行于曲线两端点的连线.,即:函数在区间上的平均变化率= 该区间内某一点的瞬,时变化率.,推论: 若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,例2. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,

4、及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,柯西,若,注: 当,时, Cauchy中值定理就变成了,Lagrange中值定理.,柯西定理的几何意义:,设曲线由参数方程确定,弦的斜率,切线斜率,Cauchy中值定理和Lagrange中值定理在几何意义上是,相同的，只是Cauchy中值定理不仅适用于,所表,示的曲线，也适用于参数方程所表示的曲线.,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,例3. 设,在一点,使,证: 问题转化为证,证明至少存,例4.,若,在,上满足Lagrange中值定理条件,则中值,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微