姜启源数学建模3.2消费者的选择

1、题目：基于NOTEBOOK的消费者的选择的建模与分析一、问题思维视图：1.系统要素:商品的价格、购买商品的数量、消费者的支出、商品的效用值（消费者的满意度）2要素关联：i.消费者的支出=商品的价格*购买商品的数量ii.购买商品的数量 商品的效用值3问题脉络形象化：若消费者只购买甲乙2种商品时，每种商品各买多少可使商品的效用值最大？甲的价格购买乙的数量购买甲的数量乙的价格消费者的总支出购买甲 的支出购买乙 的支出商品的效用值消费者的选择二、数学刻画：1 效用函数当消费者购得数量分别为x1, x2的甲乙两种商品时，得到的效用可用函数u (x1, x2)度量，称为效用函数利用等高线概念在x1, x2

2、平面上画出函数u 的等值线, u (x1, x2)=c 称为等效用线一族单调减、下凸、互不相交的曲线. 等效用线就是“ 实物交换模型”中的无差别曲线，效用就是那里的满意度syms x y1 y2 y3y1=1./x;y2=3./x;y3=6./x;ezplot(1./x,0,10)hold onezplot(2./x,0,10)hold onezplot(3./x,0,10) u(x1, x2) =c c增大 L1 L2 L3 0123456789100.511.522.533.54x3/x 效用最大化模型购得甲乙两种商品数量分别为x1, x2，甲乙两种商品的单价分别为p1, p2, y是消费

3、者准备付出的钱，在条件 p1 *x1+p2 *x2 =y 下使效用函数u(x1, x2)最大.u(x1, x2) = c 单调减、下凸、互不相交，AB必与一条等效用线相切于Q点 (消费点)。Q (x1, x2) 唯一.syms x y1 y2 y3 y4y1=1./x;y2=2./x;y3=3./x;y4=(-1/3)*x-2ezplot(1./x,0,10)hold onezplot(2./x,0,10)hold onezplot(3./x,0,10) hold onezplot(-0.5*x+2,0,10) y4 =- x/3 - 2 A C增加 Q B B B012345678910-3

4、-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52x-0.5 x+2 三、模型推演max u(x1, x2)p1 *x1+p2* x2 =y引入拉格朗日乘子构造函数 推出等效用线u (x1, x2)=c的斜率 边际效用消费线AB的斜率 当商品边际效用之比等于它们价格之比时效用函数最大等效用线u (x1, x2)=c 所确定的函数 x2(x1)单调减、下凸.四、超参数效用函数u(x1,x2)几种常用的形式0,)(.1121+=-babaxxu购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比, 比例系数是参数与之比的平方根. u(x1,x2)中参数 a, b分别度量甲乙两种商品对消费者的效用，或者

5、消费者对甲乙两种商品的偏爱 .购买两种商品费用之比只取决于, 与价格无关.u(x1,x2)中l,m 分别度量两种商品的效用或者偏爱. 实际应用时根据对最优解的分析，决定采用哪种效用函数，并由经验数据确定其参数五、超模型例1、征销售税还是收入税利用图形从效用函数和效用最大化的角度讨论 征税前设甲乙两种商品的单价为p1, p2，消费者准备花的钱为y, 等效用线为u (x1, x2)=c，消费点为Q(x1, x2) .1、 征税前的消费点Q 设税率为p0 ，商品价格被迫增加为p1+p0原来的条件变为（p1+p0）x1+x2=y对甲商品征销售税, 税率为p0消费线AB1, B1在B的左边 AB1与l1

6、相切于Q1(x1*, x2*) 政府得到的销售税额 p0x1* 2、 若改为征 收入税 原来的条件变为p1 x1+p2x2=y - p0x1 征收的税额与销售税额 p0x1*相同 消费线A2B2与l2相切于Q2, 可证B2在B1的右边. syms x y1 y2 y3 y4 y5 y6y1=1./x;y2=3./x;y3=6./x;y4=(-1/6)*x+2y5=(-1/3)*x+2y6=-x+2ezplot(1./x,0,10)hold onezplot(3./x,0,10)hold onezplot(6./x,0,10) hold onezplot(-1/6)*x+2,0,10)hold onezplot(-1/3)*x+2,0,10)hold on ezplot(-x+2,0,10) axis(0,10,0,10) y4 =2 - x/6y5 =2 - x/3y6 =2 - x A B1 B2 B3 u(x1, x2) =c L1 L2 L3 Q2 Q3Q1012345678910012345678910x-x+2 结论：如果l2在l1上方，Q2的效用函数值将大于Q1, 对消费者来说征收入税比征销售税好六评注 总而言之，该模型现实意义很大，它在比较两种商品时非常有用，而且