高考数学一轮复习 阶段总结热考题型强化课（三）课件(理).ppt

1、阶段总结热考题型强化课(三) 数列、不等式、推理与证明,【网络构建】,【核心要素】 1.不等式的性质及应用 2.一元二次不等式的解法 3.简单线性规划、可行域、最优解 4.基本不等式适用条件及利用基本不等式求最值 5.an,Sn的关系及应用,6.等差数列、等比数列通项及前n项和 7.等差数列、等比数列的性质 8.求和的两种基本方法:裂项法及错位相减法 9.推理:归纳推理、类比推理、演绎推理 10.证明方法:分析法、综合法、反证法的具体方法步骤 11.数学归纳法的方法步骤,热考题型一等差数列、等比数列基本量的计算及性质应用 【考情分析】,【考题集训】 1.(2015重庆高考)在等差数列an中,若

2、a2=4,a4=2,则a6=() A.-1B.0C.1D.6 【解析】选B.因为数列an为等差数列,所以a4为a2和a6的等差中项,所以有2a4=a2+a6,解得a6=0.,2.(2014福建高考)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于() A.8B.10C.12D.14 【解析】选C.由题得, 解得 所以a6=a1+5d=12.,3.(2014辽宁高考)设等差数列an的公差为d,若数 列 为递减数列,则() A.d0 C.a1d0,【解析】选C.由数列 为递减数列,得 又由指数函数性质得a1an-1a1an. 由等差数列的公差为d知,an-an-1=d, 所以a1a

3、n-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0.,4.(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=() A.-6B.-4C.-2D.2 【解析】选A.由S8=4a38a1+ d=4(a1+2d);由a7= -2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d =10-16=-6.,5.(2014天津高考)设an是首项为a1,公差为-1的等 差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的 值为_. 【解析】因为S1,S2,S4成等比数列,所以S22=S1S4, 即(2a1-1)2=a1(4a1

4、-6),解得a1=- . 答案:-,6.(2014安徽高考)数列an是等差数列,若a1+1,a3+3, a5+5构成公比为q的等比数列,则q=_.,【解析】设等差数列an的公差为d, 则(a3+3)2=(a1+1)(a5+5), 即(a1+2d)+32=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1, 所以a3+3=a1+1,a5+5=a1+1, 所以q=1. 答案:1,热考题型二数列求和 【考情分析】,【考题集训】 1.(2015四川高考)设数列an(n=1,2,3,)的前n项 和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式. (2)设数列 的前n

5、项和为Tn,求使得|Tn-1| 成立的n的最小值.,【解析】(1)当n2时, 有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1), 则an=2an-1(n2), =2(n2), 则an是以a1为首项,2为公比的等比数列.,又由题意得2a2+2=a1+a3 22a1+2=a1+4a1 a1=2, 则an=2n(nN*).,(2)由题意得 (nN*), 由等比数列求和公式得Tn= n=10时,210=1024,n=9时,29=512, 所以|Tn-1| 成立的n的最小值为10.,2.(2014广东高考)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n

6、2+n)=0,nN*. (1)求a1的值. (2)求数列an的通项公式. (3)证明:对一切正整数n, 有,【解析】(1)令n=1,则S1=a1,S12-(12+1-3)S1-3(12+1)=0, 即a12+a1-6=0, 解得a1=2或a1=-3(舍去).,(2)Sn2-(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0 可以整理为(Sn+3)Sn-(n2+n)=0, 因为数列an中an0, 所以Sn-3,只有Sn=n2+n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,符合an=2n, 所以数列an的通项公式为an=2n(nN*).,(3)因为,所以 故

7、对一切正整数n,有,3.(2014江西高考)已知首项都是1的两个数列an, bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn= ,求数列cn的通项公式. (2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn.,【解析】(1)因为bn0, 所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, 所以cn+1-cn=2,所以cn是以c1= =1为首项,2为公差的等差数列, 所以cn=1+(n-1)2=2n-1.,(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=13

8、1+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 相减得-2Sn=1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n =-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1.,热考题型三不等式及一元二次不等式 【考情分析】,【考题集训】 1.(2015全国卷)已知集合A=-2,-1,0,1,2, B=x|(x-1)(x+2)0,则AB=() A.-1,0B.0,1 C.-1,0,1D.0,1,2 【解析】选A.由已知得B=x|-2x1,故AB=-1,0.,2.(2013北京高考)设a,b,cR,且ab,则() A.acbcB. C.a2b2D.a3b3 【解析】选D.y=x3在(-,+)上

9、为增函数,所以a3b3.,3.(2014山东高考)已知实数x,y满足axln(y2+1) C.sinxsiny D.x3y3,【解析】选D.由axy,所以,热考题型四基本不等式与线性规划 【考情分析】,【考题集训】 1.(2015山东高考)已知x,y满足约束条件 若z=ax+y的最大值为4,则a=() A.3B.2C.-2D.-3,【解析】选B.由约束条件可画可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a=2,验证符合条件;若过点B(1,1)时取最大值4,则a=3,而若a=3,则z=3x+y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意.(也可直接代入排

10、除),2.(2014湖北高考)若变量x,y满足约束条件 则2x+y的最大值是() A.2B.4C.7D.8,【解析】选C.满足约束条件 的可行域如图中阴影部分所示: 目标函数z=2x+y,即y=-2x+z,显然,当直 线经过点B时z的值最大,最大值为7.,3.(2014福建高考)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,设平面 区域: 若圆心C,且圆C与x轴相切, 则a2+b2的最大值为() A.5B.29C.37D.49,【解析】选C.由圆C与x轴相切可知,b=1. 又圆心C(a,b)在平面区域(如图)内, 故a-2,6. 所以当a=6,b=1时,a2+b2取最大值为37.,热考题型五推理与

11、证明 【考情分析】,【考题集训】 1.(2015湖北高考)设xR,x表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是() A.3B.4C.5D.6,【解析】选B.由t=1得1t2, 由t2=2得2t23, 由t4=4得4t45, 所以2t2 ,由t3=3得3t34, 所以6t54 , 由t5=5得5t56与6t54 矛盾, 故正整数n的最大值为4.,2.(2015山东高考)观察下列各式： 照此规律，当 nN*时，,【解析】由类比推理可知第n个等式右端应该是4n-1.事 实上，由 及 可知， 即 答案:4n-1,3.(2013陕西高考)观察下列等

12、式: (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 照此规律,第n个等式可为_.,【解析】考查对规律的观察、概括能力,注意项数,开始 值和结束值.第n个等式可为:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n) =2n135(2n-1) 答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1),4.(2015江苏高考)已知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n (nN*),设Sn=(a,b)|a整除b或b整除a,aX,bYn,令 f(n)表示集合Sn所含元素个数. (1)写出f(6)的值. (2)当n6时,写出f(n)的表达式,并用数学归

13、纳法证明.,【解析】(1)f(6)=13.,(2)当n6时,下面用数学归纳法证明: 当n=6时,f(6)=6+2+ =13,结论成立; 假设n=k(k6)时结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的 基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产 生,分以下情况讨论: 1)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+ =(k+1)+2+ 结论成立.,2)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2 =k+2+ +2=(k+1)+2+ 结论成立. 3)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+

14、2 =k+2+ =(k+1)+2+ 结论成立. 4)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2 =k+2+ =(k+1)+2+ 结论成立.,5)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1 =k+2+ =(k+1)+2+ 结论成立. 6)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3 =k+2+ =(k+1)+2+ 结论成立. 综上所述,结论对n6的自然数n均成立.,热考题型六数列、不等式、推理证明综合 【考情分析】,【考题集训】 1.(2014湖北高考)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.

15、(1)求数列an的通项公式. (2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d, 2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2; 当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2, 从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立. 当an=4n-2时, 令2n260n+800,即n2-30n-4000, 解得n40或n-10(舍去),

16、此时存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n. 当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,2.(2013北京高考)给定数列a1,a2,an.对i=1,2, n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2, an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi. (1)设数列an为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值. (2)设a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10, 证明:d1,d2,dn-1是等比数列.,(3)设d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列,且d10,证明:a1,a2,an-1是等差数列.,【解析】(1)d1=A1-B1=3-1=2,d2=A2-B2=4-1=3,d3=A3-B3= 7-1=6. (2)由a1,a2,an(n4)是公比大于1的等比数列,且a10, 可得an的通项为an=a1qn-1且为单调递增数列. 于是当k=2,3,n-1时, 为定值. 因此d1,d2,dn-1构成首项d1=a1-a2,公比为q的等比数列.,(3)若d1,d2,dn-1是公差大于0的等差数列